平均点以上でも喜んじゃダメ!順位は最後から2番目かも?

要点チェック!
  • 平均点より上の点数であっても順位も上とは限らない。
  • データの種類を見て相加平均、相乗平均のどちらを使うのか考えなければならない。
  • どんな数に対しても、相加平均は相乗平均より大きいか等しい。

この前、中間テストがあったんですよ!

おう。で、結果はどうだった?

数学の点数が、平均点より上だったんですよ!これって頭がいいってことですよね?!

喜んでいるところ申し訳ないんだが、そうとも言えないぞ。

えっ!そうなんですか...?

例えば、5人がテストを受けて、はるかが80点、他の4人が、100点、95点、90点、10点だったとする。

平均点は分かるかな?

(100+100+100+80+10)\div5=75
なので、平均は75点ですね。

私の点数は80点なので、平均点より上です!

うん。それで、順位は何位?

え、えっと...

わ!下から2番目です!

そう。それでも、はるかは喜べる?

喜べません。だって、自分より点数の高い人が3人もいて、私は5人中4位だもん。

そうだよね。このように、点数は平均点より高いのに、順位で見ると、半分より下になることがあることがあるんだ。


平均点以上でも、順位は下になることがある
平均点以上でも、順位は下になることがある

平均点より上だからって、順位も上だとは限らないんですね。


相加平均とは?相乗平均とは?

ところでぽんさん。数2で相加相乗平均の関係をやりました。

でも、公式だけ見ていても意味不明なんです。


相加相乗平均の関係
\displaystyle \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}

そうか。ではまず、相加平均、相乗平均とは何か、というところから見ていこう。

相加平均は、よく知られてる普通の平均のことなんだ。

...といいますと?

例えば、A君、B君の身長が、それぞれ168cm、172cmとしよう。

この時、2人の身長の平均はいくらか計算できる?

えっと...

(168+172) \div 2=170 なので、平均は170cmです。

うん。正解!

実は、これが相加平均なんだ!

あ、そっか!

私たちが日常生活で使ってる平均を、難しい用語で「相加平均」って呼ぶってことですね!

そう!その通り!

2つの数を足して、それを2で割るのが相加平均だよ。

じゃあ、「相乗平均」って一体なんなんですか?

うーん、そうだな...

さっきは身長を平均したけど、じゃあ、アリの大きさと地球の大きさの平均ってどれぐらいだと思う?

うーん...

すごく小さい「アリ」と、すごく大きい「地球」の平均だから、人間の身長とか、ビルの高さぐらいじゃないですか?

じゃあ、計算してみよう!


アリと地球の大きさの平均

アリの体長:0.01m(1cm)
地球の直径:12742000m(12742km)

平均は、(12742000+0.01)\div2\fallingdotseq6371000 m(地球の約半分)

ということで、アリと地球の大きさの平均は、6371kmだ。

ん?なんか大きすぎるような...?

感覚と全然違ってしっくりきません。

そうだよね。ここで相乗平均を計算してみよう。

相乗平均とは、2つの数をかけて、それの2乗根(ルート)を考えるんだった。


アリと地球の大きさの平均

アリの体長:0.01m(1cm)
地球の直径:12742000m(12742km)

平均は、\sqrt{12742000\times0.01}\fallingdotseq357m

ということで、アリと地球の大きさの平均は、357mだ。

うん、なんだか感覚とあってる気がします!

でも...

どうしたの?

いや、よくよく考えると、平均が色々あるって変じゃないですか。

そもそも平均ってなんなのか、よくわからなくなってきました。

じゃあ、基本に戻ってみよう!

そもそも、何のために「平均」という数を考えるのか分かる?

...改めて聞かれると、なぜでしょう?

平均の役割は、「複数のデータを簡潔に示す」ことだ。

...ピンときません。どういうことでしょうか?

例えば、2年A組と2年B組という2つのクラスがある。

そこで、どっちのほうが全体的に見て背が高いのか、知りたいとしよう!

今、A組とB組、それぞれの組に30人の生徒がいるとします。はるかだったらどうする?

うーん...

A組の生徒の身長は150cmと170cmと130cmと...、B組の生徒の身長は160cmと180cmと140cmと..って、順番に見ていけばいいんじゃないんですか?

うん、それも一つの方法だ。

でもそれだと、60人の身長を比較しなきゃいけないよ?

確かに、大変です...

そんなときに平均を使うんだ。「A組の平均身長が164cm、B組の平均身長は159cmです。」って言われたらどうかな?

なるほど!分かりやすい!

だろ?これが、平均の役割は「複数のデータを簡潔に示す」ってことなんだ。

平均は「代表値」とも呼ばれる。A組の身長のデータを全部見るのは大変だから、平均値が「A組代表」として教えてくれるんだ。

なるほど!


平均は集団を代表する「代表値」の1つ平均は集団を代表する「代表値」の1つ

でも、普通の平均、つまり相加平均だけだと、さっきの地球とアリの例みたいに、おかしな数字が出てくることがある。

だから、与えられているデータの数字や種類を見て、相加平均を使うのか、相乗平均を使うのか、考えなければならない。

なるほど!

実際、日常生活で相乗平均を使うほうが良い例は少ないんだ。だから、相加平均だけ知ってれば、なんとかなる場合が多い。

でも、極端に大きい値や小さい値を扱うときや、経済学の研究、あと、お金の計算をするときは、相乗平均をよく使うんだ。


平均を調べる対象により、適切な平均は異なる平均を調べる対象により、適切な平均は異なる


相加相乗平均の公式

で、結局、相加相乗平均の式は何を言ってるんですか?

ああ、すっかり忘れてたね笑

さっき、はるかは数式で書いてくれたけど、日本語で相加相乗平均の式を書くと、こうなる。


相加相乗平均の式

【数学バージョン】
(相加平均)\ge(相乗平均)

【日常バージョン】
どんな場合でも絶対に、相加平均は、相乗平均より大きくなる


IMG_5098

A君、B君の身長がそれぞれ168cm、172cmだったとする。この時2人の身長の相加平均と相乗平均を求めてみよう。

相加平均は、(168+172)\div2=170 よって170cm。
相乗平均は、\sqrt{168 \times 172}\fallingdotseq169.98 よって169.98cm。

相加平均と相乗平均の大きさをくらべてごらん。

ほんとだ。相加平均のほうが大きい。

ね。これがどんな数に対しても常に成り立つと言っているんだよ。

なるほど!

さっきは2人の人を考えましたけど、3人とか、4人の場合でも成り立つんですか?

うん、実は、相加相乗平均の公式は、3つ以上の数字でも成り立つことが証明されているんだ。

えっ!3つ以上の相加相乗平均ってどうやって計算するんですか?

相加平均では3つの数を足して、3で割る、相乗平均では、3つの数をかけて、3乗根をとったりするんだよ。


相加相乗平均の関係(3つのとき)

\displaystyle \frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}

そうなんだ。便利な公式ですね。

そうだろー!ちなみに相加平均は算術平均、相乗平均は幾何平均と呼ばれているんだ。


いろいろな平均

相加、相乗以外にも、平均ってあるんですか。

あるよ、例えば調和平均とか。


調和平均(2つのとき)
\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}

うわ。調和平均ってなんだか複雑そうですね。

確かに、式はややこしい。

でも、この調和平均は、音の高さと弦の長さなどの音楽理論で用いられる、立派な「平均」の1種なんだ。

平均って、たくさん種類がありますね。何種類あるんですか?

実は、平均は無限種類考えることができるんだ!

ええっー!

平均の一般式というのを紹介しよう。


平均の一般化式

\displaystyle \sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{m}}

この式において、mに1を代入すると相加平均に、0を代入すると相乗平均に、-1を代入すると調和平均になる。
※相乗は厳密には、m→0

mには、好きな整数を入れることができて、好きなだけ平均を考えることができるんだ。

わあ!すごいですね。

ちなみに、m=2のときは、二乗平均平方根と呼ばれている。それ以外のmは、名前はついてないけど、いろんな平均があるよってことだ。

平均について、いろいろと理解できたような気がします!

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