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人生の長さは約25億秒。こんなときこそ指数を使おう!

要点チェック!
  • 普通の表現では表しにくい大きい数や小さい数を表すとき、指数を使います。
  • 指数は、負の数や有理数の範囲まで拡張することができます。

今日、学校で友達と、生まれてから今まで何秒経ったかって計算してたんですよ。

おもしろいことするね。何秒だったの?

私が今17歳だから、17歳×365日×24時間×60分×60秒=536112000秒です!

約5億秒か!凄いね!

俺は今19歳だから、19歳×365日×24時間×60分×60秒=599184000秒だね。

人間の平均寿命を80歳とすると、人は平均で何秒生きるんだろう?

えっと、80歳×365日×24時間×60分×60秒=2522880000秒です!

25億秒!すごい!

じゃあね、人間が誕生したのが約200000年前だよ。

えっ!計算するんですか!?

できる?

えっと、200000年×365日×24時間×60分×60秒=6307200000000秒です!

約6兆秒だね!

すごい!

じゃあ、地球が生まれるのが46億年前!

ひっ...笑

4600000000年×365日×24時間×60分×60秒=145065600000000000秒です...

兆の上って、なんて数えるんでしたっけ?

「京」っていうんだよ。だから、約14京!

すごいですね...

せっかく頑張って計算したんだから、表にしてまとめてみようか。

はい。


〜3分後〜

表にしてみました。こんな感じですか?


生まれてから今までの秒数生まれてから今までの秒数

うーん、なんか0が多すぎて見難いですね...

じゃあ、指数で表現しよう。指数は授業で習ったよね?

はい!習いました。

例えば、536112000は、だいたい5.36×100000000とおんなじだよね。

100000000は指数を使えば、10^8とおんなじだ。

だから、536112000は5.36\times10^8とできるんだ。

あ、なるほど!

そんな感じでまとめていくと、表はこんな感じに書ける。


指数で表現した生まれてから今までの秒数指数で表現した生まれてから今までの秒数

わ、なんかすっきりしますね!

指数を使えば、どんな大きな数でも、どんな小さな数でも、上手に表現することができるんだ。


-1乗ってなに?

私、中学校で指数を初めて習った時、例えばa^bだったら、aをb回かけると思ってたんですよ。


中学校で習う指数

a^b=\underbrace{a \times \cdots \times a}_{b}

でも、高校に入ると2^{\frac{1}{2}}とか、2^{-1}とか、指数の部分が自然数じゃないものが出てきました。

なので、ちょっと困惑してるんです。2を-1回かけるって、なんなんですか?


中学の考え方で2^{-1}を計算する

2^{-1}=\underbrace{2 \times \cdots \times 2}_{-1(?)}

確かにそうだよね。俺も最初はよくわからなかったよ。

でもこれは、「拡張」という、数学の世界ではすごく大事なことをやってるんだ。

「拡張」ですか?

そう、中学校で習う指数は、最も簡単な「拡張される前」の指数なんだ。

中学校で習う指数では、例えばa^bだったら、bは絶対に正の整数だった。

はい、そうです。2^2とか、-2^{2}とかでした。

その時、こんな法則が成り立つのは分かるかな?


指数法則

b,cが正の整数のとき、
a^{b+c}=a^b \times a^c

これは、具体的に掛け算する回数を書いてみると分かりやすい。


指数法則

\underbrace{a \times \cdots \times a}_{b+c}= \underbrace{(a \times \cdots \times a)}_{b} \times \underbrace{(a \times \cdots \times a)}_{c}

あ、わかります!

例えば、aを5回かけるのと、aを3回かけたものと、aを2回かけたものを、かけ合わせたものは同じ、ってことですよね?


指数法則の具体例指数法則の具体例

そう、でもこれは、中学で習う指数、つまりa^bのbが、正の整数の時に成り立つ法則だ。

でも、ここで数学者はこう考えるんだ。

この法則を保ったまま、指数を「拡張」できないだろうか。

つまり、「正の整数の時に成り立つ法則を保ったまま、負の数や有理数の範囲まで広げることはできないだろうか?」ということだ。

え...なんかすごそうですね...

そこで生まれたのが、高校で習う指数だ。

もし「仮に」、さっき見せた指数法則が負の数にも成り立つとしよう。そうすると、こんなのが成り立つよね。


負の数でも指数法則が成り立つなら

a^{1}\times a^{-1}=a^{1+(-1)}=a^{0}=1

ここで、a^{1}=aだから、
a\times a^{-1} = 1
両辺aで割って、 a^{-1} = \frac{1}{a}

あ、高校で習う指数が出てきました!

そう!分数の場合でも同じことが言える。


分数でも指数法則が成り立つなら

a^{\frac{1}{3}} \times a^{\frac{1}{3}} \times a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}}=a^{1}=a

3乗してaになる数を考えると、
a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}

おお、これも教科書で見たことがあります!

ちょっとまとめるよ。

俺たちは中学校の時、a^bっていうのは、「aをb回かけた数」と習った。

そしてその時、「指数法則」という法則が成り立つ。

でもここで、数学者はこんな妄想をしたんだ。

もしaを-1回かけたり、aを\frac{1}{3}回かけることができたら、それはどんな数になるんだろう?

妄想ですか?なんか面白いですね笑

そう、現実の世界では絶対に無理な世界を、数学の世界では実現できるんじゃないかと思って「妄想」したんだ。

そして、「指数法則」をしっかりと保ちつつ、なんとか指数の考え方を、正の整数よりもさらに外側に、ぐいっと「拡張」できないかと考えた。

「拡張」のイメージとしては、こんな感じかな?


指数は有理数まで拡張できる指数は有理数まで拡張できる

その結果が、高校の教科書に載っている指数なんだ。

へぇーなんか凄いです!

数学者って、妄想が好きなんですかね...?

うん。それは俺もすごく思うよ。

数学をやっている人は、何かある考えを思いついた時に、「この考え方をどこか別のところで使えないだろうか?」とか、「この考え方をもっと広げて、色んな物に応用できないだろうか?」とか、妄想するのがすごく得意だ。

でも、適当な妄想は絶対にしない。数学というのは、決められたルールや規則の中で行うゲームだ。

でも、それは逆に、決められた規則やルールに従えば、何をやっても許されるということなんだ。

「aをb回かける」という指数の考え方も、数学者の妄想力を使えば、ある数を-1回かけたり、\frac{1}{2}回かけるといった、現実では絶対にできないようなことを考えることができる。

この妄想は、俺たちにとってはめちゃくちゃにみえるかもしれない。けど、決して数学者はめちゃくちゃな妄想をしてるわけじゃない。「指数法則」という絶対に守らなければいけないルールの中で、試行錯誤しながら、妄想、つまりは「拡張」してるんだ。

なんだかそう考えると、おもしろそうですね!

ちなみに、この拡張には、さらに続きがある。

え、もっと拡張できるんですか?

そう!有理数の次は何だと思う?


有理数よりさらに拡張できる?有理数よりさらに拡張できる?

えっと、無理数とかですか?

そう!それがひとつ目の拡張。この拡張には、指数定理だけでは追いつかない。極限という考え方を使って拡張するんだ。

じゃあ、有理数と無理数、つまり実数全体まで拡張できたら、その先は何だろう?

ひょっとして、虚数...?

そう、なんと数学者は、数を虚数乗するということも考えたんだ。この考え方は、大学の数学で勉強するよ。


指数は虚数まで拡張できる指数は虚数まで拡張できる

虚数って、2乗したら-1になる、あのよくわからない数ですよね?

そう、だから、現実では出来ないけど、「2を虚数回かける」という操作が数学では出来てしまうんだ!

数学者の妄想って、すごいですね!

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