ロジスティックサムネ前

Twitterのトレンドまで!? 微積分で「変化の様子」が表せる!(前編)

要点チェック!
  • 微分方程式は「変化の様子」を表現する方程式です。
  • ある現象に対して、影響を与える要因を考え、数学で表現することを「数理モデル」化すると言います。
  • 「数理モデル」は非常に広範囲の分野に対して考えることができます。

前に、ツイッターのトレンドの話をしたよね?

ツイッターのトレンド・・

ああ、ツイッターのトレンドに微分が使われているという話ですね!

そうそう、その話!

実はまだツイッターのトレンドの話で面白そうなネタがあることがわかってね。

しかもこれまた「微積分」が関係している。

まだあるんですか!

気になりますね。

今回の場合は、「何が」トレンドになるかじゃなくて、「どのように」トレンドになるかという話だ。

この2016年の前半部分で、社会的に話題になったニュースはもちろんツイッターでもトレンドになったりしている。

そのトレンドの「ツイート数」の推移のグラフをゲットしたんだ。

といっても、抽出によるものでこれはツイッター全体の動向とは必ずしも一致しないかもしれないが、まあかなり影響力のあるニュースを選んでるからおおむね一致すると思う。

? わかりました。

さてじゃあ1月のものを見てみようか。

いわゆる「ベッキー騒動」で「ベッキー」がトレンド入りしたときのツイート数の推移だ。


「ベッキー」のツイート数

同じく1月、「SMAP解散騒動」で「SMAP」がトレンド入りしたときのツイート数。


「SMAP」のツイート数

あー、確かに話題で持ちきりでしたもんねー

ちょっと懐かしいですね笑

これは3月に、元プロ野球選手の清原さんが一時釈放されたときのツイート数。


「清原」のツイート数

画像出してみて思ったけど、SMAPの縦軸は数値がかなり大きいな・・

いかに影響が大きかったか分かる。

それで、ツイート数の推移がどうかしたんですか?

実はツイートがどのようにトレンドになっていくか、これにはある程度規則性がある。

そして、その規則性は数学を使って説明ができるんだ。

それって未来予知みたいなことができる、ってことですか?

まあ、やろうと思えばそういうこともできるかな


トレンド入りって?

ゆう、「トレンド入り」するってどういうことなんだろうな

ぼくはそれほどツイッターは詳しくないんですが・・

まあトレンド入りというか、「人気になる」ってどういうことだろうなって感じだな

うーん・・

たくさんの人がツイートしているようなことだったら、僕も興味をもってツイートしたりするかなあ・・

そうだな。

自分のタイムラインの人の多くがツイートしているようなことであったら、自分も興味を抱いてツイートしてみる気が起こってくる。

1人、2人程度ならそんな気も起きないだろう。「みんながやっているからやってみるか」の精神だな。

なんか日本人らしいですね。

さて、「みんながツイートしているからツイートしてみるか」の精神でいくと人気のキーワードについてツイートする人がひたすら増えていくことになる

そうすると、1度トレンドに入ったら永遠にトレンドに残り続けることになる。

けど、実際はそんなことはない。なんでだと思う?

うーん・・

やっぱり、どこかで「飽き」がくるんじゃないですか?

そう!そうなんだよ。

ある程度の数までは増加し続けるが、そういつまでも増加し続けない。

どこかで頭うちになる。どこかで飽きがくる。

と、いうことで「トレンド入り」するということは・・

「みんながやっているからやってみるか」という形で爆発的に伸びていくが、「飽きた」という気持ちで頭打ちになる・・・

そういうプロセスのことともいえる。

なんかそういわれるとあまりかっこよくないですね・・。

まあいいじゃないか。


「トレンド入り」を数学で表す

さて、じゃあこれを数学の言葉で表現してみよう。

「トレンド入り」を、ですか?

あるキーワードのツイート数をyとしよう。

ツイート数は時間で変化するので、ツイート数yは時間を表す文字tの関数だ。

じゃあ、tに何か数字を代入すればツイート数が分かる!というわけですね。

そうなる。

今から考えたいことは・・

ある時間\Delta tの間の、ツイート数の増加数\Delta yを数式で求めてみたい。

おおー。

難しそうですけど、なんだか夢がありますね。

少しずつ考えていけば大丈夫さ。

まずは、「みんながやっているからやってみるか」の精神を数学で表してみよう!

いきなり難しそうですね・・

いやあ、こっちはまだマシだぞ。

ツイート数が多ければ多いほど、みんなツイートするだろ?

そうですね。

ということで、おおざっぱに、ツイートの増加数は、そのときのツイート数に比例するということにしよう。

ツイート数(y)1000のときより2000のほうが、伸び(\Delta y)も2倍というわけですね。

そうなるそうなる。

比例なら式で表せるだろう。ひとまず\Delta yを表してみよう。

比例の式は、y=axですから、この場合は・・\Delta y =ayですか?

aは比例定数で。

さすがゆう!その通りだよ!

さて、そういうわけで「みんながやっているからやってみるか」は数学で表現できたわけだが・・

次は「飽きた」を数学で表すんですね!

そうなる。こっちのが難しそうだな・・

「飽きた」ということはどこかで限界が来るということ。

その限界をNとしよう。

このNを式に使うことになるわけですね。

そうそう。これを使って「頭打ち」を表現できれば良いことになる。

ゆう、ツイートのトレンドに限らず、「流行」とかっていうのはさ・・

途中までは爆発的に広がる勢いがあるが、どこかでその勢いも衰えてくる。

そして頭打ちになる、と・・

ということは、「頭打ち」というか「限界」に近づくにつれて勢いも衰えてくると言っても良さそうだ。

はい、そうですね。

なので、ツイートの増加数は、限界までの残りにも比例するということにしよう。

限界ポイントNから遠ければ遠いほど、増加数も多いということになりますね。

比例なのでこれも式で表せる。

えっと・・さっきと同じように考えれば・・

比例定数をbとして、\Delta y=b(N-y)ですか?

そうだね!

これで、「飽きた」という気持ちも数学で表せた。

「みんながやっているからやってみるか」と「飽きた」でトレンド入りが表せるから、さっきの2つを合体させて・・

\Delta y=ay(N-y)がツイートの増加数の式だ。

あれ?bはどこにいったんですか?

abも比例定数だからまとめてaにしといたよ。

なるほど。

あと、\Delta yはある時間\Delta tの間のツイートの増加数としていた。

この時間の幅\Delta tが大きいほど、\Delta yも大きいだろう。

30分間でのツイートの増加数より、60分間でのツイートの増加数が多いだろう・・ってことですね。

そういうこと。

なので、\Delta y=ay(N-y)\Delta tとなる。

最終的にかなりごちゃごちゃしましたね・・

まだ続きがあるんだな。

さっきの式の両辺を\Delta tで割ると・・

分数式

ゆう、\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta t}って何を表していると思う?

ytの関数でしたよね・・

変化の割合・・傾きを表すと思います。

まあそうだね。数学Ⅱで言うところの平均変化率だ。

それで、\Delta tを0に近づけるとどうなる?

計っている時間が短くなるってことですよね・・時間を限りなく短くする・・

そしてytの関数・・\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta t}は平均変化率だから・・

時間を限りなく短くすると瞬間的な変化率が分かるはず・・

それって?瞬間的な変化率とは何だろう?

導関数・・つまり\displaystyle\frac{dy}{dt}ですか?

すごい!よくここまで考えれたじゃないか。

そう、\Delta tを0に近づければ、左辺は\displaystyle\frac{dy}{dt}となって

微分方程式

導関数\displaystyle\frac{dy}{dt}が式の中に出てくる方程式なので、こういった方程式を微分方程式という。

それで、今考えたみたいに、ある現象に対して、変数を決めて数式化することを「数理モデルを作る」とか言ったりする。

微分方程式・・そういえば数学Ⅲの教科書にちらっと書いてましたね。

微分方程式は関数についての方程式なので、関数が解として出てくる。

ここまでをまとめておこう。


人気のあるキーワードのツイート数予測

「みんながやっているからやってみるか」・・ツイートの増加数は現在のツイート数yに比例
どこかで飽きが来る・・ツイートの増加数は限界値をNとしてN-yに比例
これらを組み合わせて、ツイート数の関数についての微分方程式
\displaystyle\frac{dy}{dt}=ay(N-y)
が求まる。

次はこの「微分方程式」を解いてみるぞ!


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Twitterのトレンドまで!? 微積分で「変化の様子」が表せる!(後編)