展開公式は、図形にすると超かんたんに理解できる！

えーぷらすびーのにじょういこーるえーのにじょうぷらすにーえーびーぷらすびーのにじょう...

展開公式かな？

中学校の復習だよぉぉ！
まさか高校数学でも、中学でよくわからなかった、あの展開や因数分解が出てくるとは...

ぶっちゃけ、中学校の時もよく分かってなかったんだよね！！因数分解！！

おぉ、それは大変だ（笑）

「因数分解が何の役に立つんだよぉぉ！！！」って叫んでる人、よく見かけるよね〜
まあ、あかりもすごく叫びたいんだけど！（笑）

うーん。実生活で因数分解が直接的に役に立ってる例は、すぐには思い浮かばないなぁ...

えーじゃあ勉強しなくていいじゃん！！

いや、「直接的に役に立ってる例が思いつかない」と言ってるだけで、縁の下の力持ちとして、生活の根底を支えているんだよ！

ふ〜ん。例えば？

例えばさ、あかりは足し算は小学生で習ったよね。

当たり前じゃん！さすがにそれくらいはできるよ！！

じゃあ、足し算できない人の気持ちになって考えてみてください。

ある家族が、引っ越しをします。
今使ってる机が新しい部屋に入るかどうかチェックするために、机の長さを測ることになりました。

足し算ができない子どもに、 30センチ定規を渡して、「ちょっと机の長さ測ってきてよ」とお願いしました。

測ったら、こんな感じでした。
絵がへたくそでごめんね。

机の長さを測った

どう見ても80センチだよねー

うん。まあそうなんだけど、この子どもなら、なんて答えると思う？

えっ！足し算ができないんだよね...
「30センチと、30センチと、あと20センチ！」とかかな？

うん。多分そうなるよね。
でも、今俺たちは足し算を知ってるから、「30センチと、30センチと、20センチ」と答えるより、「80センチ」と答えるほうが便利だし、簡単なことを知っている。

当たり前だよー
80センチ！といったほうが、分かりやすいもん！

じゃあ因数分解に戻ろう。

例えば、物理の問題を解いているとしよう。
大学で習う物理はすごく難しくて、数式ばっかりだ。

うぇぇ...物理の問題...？

いや、問題を解くわけじゃなくて、例だから、安心してね〜
問題を解いていて、無事に答えが出たとしよう。
その答えがこんなのだったらどうする？

$\displaystyle \frac{2x^2+y^2+3xy+5x+3y+2}{2x+y+1}$

うぇぇー意味分かんない！式がちょー長いじゃん！！

と思うじゃん？でも、こういう答えを書く人は、因数分解を知らない人だ。
因数分解を知っていたら、こんなふうに書ける。

$\displaystyle x+y+2$

あれ？これだけ...？

うん。さっきと同じ意味だ。

足し算を知っていれば「30センチと、30センチと、20センチ」と言わずに、「80センチ」といえた。
それと同じように、因数分解を知っていれば、一見難しそうに見える式も、簡単になる場合があるんだ。

「30センチと、30センチと、20センチ」
↓【足し算を学ぶと...】
「80センチ」

$\displaystyle \frac{2x^2+3xy+y^2+5x+3y+2}{2x+y+1}$
↓【因数分解を学ぶと...】
$x+y+2$

ほええ〜

だいぶ簡単になったでしょ！
簡単にすれば計算がしやすくなる。計算がしやすくなれば、どんどん新しい技術や商品を作ることができる。

因数分解は「直接的には」使われてないかもしれないけど、こうやって影でいろんな技術を支えているんだ。

なるほど！ちょっとだけ納得！

展開公式は図形の問題？

ところで、初めにぶつぶつ言ってた展開公式、覚えれた？

覚えるのはなんとか覚えてるよ。でもね、なんか丸暗記して使ってるだけみたいな感じで、
イマイチ、こう、「心の底から納得したぞ〜！！！」という感じじゃないというか...

うーん...

なんかね、図形の問題ってあるじゃん。あれは楽しいんだよ！
絵みたいなの書いて、色んな所の長さ求めたりするの！

でもさ、展開って、式の問題じゃん。絵書けないじゃん。

絵を書いて、この部分の長さを求めよ！とかならいいのに、
問題用紙に式だけ書いてあって「以下の式を展開しなさい」とか、もう意味分かんないよね！！！

なるほど、あかりは頭のなかでイメージできる問題が好きなんだね。

でも、展開公式って、図形を使って求めることもできるよ！

...えっ！えええ！！

$(a+b)(c+d)$とか、どうやったら図形の問題になるの？？

なるんだなーそれが！

例えばね、こんな図形を見て欲しい。

4つに分かれた四角形

この四角形全体の面積はいくらかな？

えっ！面積の問題...？

えーっと、、四角形の面積は縦かける横だよねー
それで、縦が$a+b$、横が$c+d$だから、面積は$(a+b)\times(c+d)$！！

$\times$は省略した方が、かっこいい？
省略すると、$(a+b)(c+d)$だね！

おおっ、なんか「展開して下さい」って感じの式が出てきた...

確かに（笑）！
では、左上の緑の四角形の面積はいくらかな？

4つに分かれた四角形の左上

縦かける横で、$ac$！
簡単かんた〜ん！

じゃあ、右上の水色は？

4つに分かれた四角形の右上

$ad$だね！

じゃあ、次は...

わかってるよ。どうせ左下と右上でしょ？
左下のオレンジの四角形は$bc$で、右下のピンクは$bd$！
でも、これがどうしたの？？

いま、バラバラにした4つの四角形の面積をそれぞれ求めたが、それらを足すと元の四角形の面積になる。

うん。そんなの当たり前じゃん！

...なにか気付かない？

え、何か...？うーん...

最初に求めた全体の四角形の面積って、$(a+b)(c+d)$だったよね？

うん。そーだけど...

そしてね。
バラバラにした4つの四角形の面積を足し合わせるといくら？

ああっ！！！！

そうか！！
4つの小さい四角形を足しあわせた面積は、$ac+ad+bc+bd$だよね！
で、これと、もとの大きな四角形の面積がおんなじだから、
$(a+b)(c+d)=$
$ac+ad+bc+bd$だ！！

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
展開公式(1)
(全体の面積)$=$(4つの四角形の面積の和)

すごい...面積の問題から展開公式が出てきた...

ね？図形の問題になったでしょ？？

これなら直感的に分かりやすい！！
なんか、よく分かってなかった展開公式の意味が、心のなかにストンと落ちてきた気がする！

そう言ってもらえると嬉しいよ！

ついでに、こんな図形を考えてみよう

4つに分かれた四角形(2)

同じ考え方だよね！あかりがやってみる！

まず、全体の面積は、縦も横も$a+b$なので、$(a+b)\times(a+b)$です。
$\times$を省くなら、$(a+b)^2$です！

おおっ！今後は$(a+b)^2$の展開公式かなー？

うんうん。それで？？

はい。個々の四角形は、それぞれ$a^2,ab,ba,b^2$です。
これらを足し合わせると,$a^2+ab+ba+b^2=$
$a^2+2ab+b^2$です！

おお！おおお！！

最後までちゃんとやろうか...（笑）

はい！
今求めた、4つの四角形の面積の和と、最初に求めた全体の面積が等しいので、$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$です！！

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
展開公式(2)
(全体の面積)$=$(4つの四角形の面積の和)

正解！完璧だね！

いままで「展開」とか「因数分解」って聞くと、式ばかりでイメージがつかみにくいなーと思ってたんだけど、
こうすると、図形の問題みたいで楽しいね〜！

そうだね！問題に対していろんな見方をするというのかな。
そういう考え方は、数学においても非常に重要だ。

学校の数学の授業では、章ごとに内容を扱うよね。
平面図形の章なら平面図形だけ、展開の章なら展開だけしか扱わない。

でも、本当の数学の世界では、今回のように、式の問題と図形の問題が繋がったように、様々な分野が密接につながっていることも多いんだ。

何人もの数学者が解こうとしても全然解けない、ある数学の分野の超難問が、実は別の分野の数学とつながっていて、その分野に持って行くと、あれだけ難しかったはずの問題がすんなり解けちゃう、みたいなこともありえるんだ。

まさに、今回の、「式の展開」という問題を、図形の「面積」の問題として考えたようにね！

ふむふむ...
なんかそう考えると、数学って奥深そうだね...

ちなみに元の話に戻るけど、工夫すれば、$(a-b)^2$や、$(a+b+c)^2$の展開公式なんかも、平面図形にして求めることができるよ。

あと、面白いのが$(a+b)^3$の展開公式だ。
これは「面積」の問題ではなくて、「体積」の問題として考えられる。平面図形じゃなくて、立体図形だね！

ひぃぃ...式の展開の問題に立体図形まで出てくるなんて、すごいね！

ちょっと考えてみるよ！

おっ！じゃあ、ヒントだけおいておこう。
頑張って、図形からいろんな展開公式を導いてみてね！

8つに分かれた立方体