展開公式は、図形にすると超かんたんに理解できる!


要点チェック!
  • 因数分解は、間接的に私たちの生活の根底を支えています。
  • 展開公式は、平面図形や立体図形の問題として考えることができます。

えーぷらすびーのにじょういこーるえーのにじょうぷらすにーえーびーぷらすびーのにじょう...

展開公式かな?

中学校の復習だよぉぉ!
まさか高校数学でも、中学でよくわからなかった、あの展開や因数分解が出てくるとは...

ぶっちゃけ、中学校の時もよく分かってなかったんだよね!!因数分解!!

おぉ、それは大変だ(笑)

「因数分解が何の役に立つんだよぉぉ!!!」って叫んでる人、よく見かけるよね〜
まあ、あかりもすごく叫びたいんだけど!(笑)

うーん。実生活で因数分解が直接的に役に立ってる例は、すぐには思い浮かばないなぁ...

えーじゃあ勉強しなくていいじゃん!!

いや、「直接的に役に立ってる例が思いつかない」と言ってるだけで、縁の下の力持ちとして、生活の根底を支えているんだよ!

ふ〜ん。例えば?

例えばさ、あかりは足し算は小学生で習ったよね。

当たり前じゃん!さすがにそれくらいはできるよ!!

じゃあ、足し算できない人の気持ちになって考えてみてください。

ある家族が、引っ越しをします。
今使ってる机が新しい部屋に入るかどうかチェックするために、机の長さを測ることになりました。

足し算ができない子どもに、 30センチ定規を渡して、「ちょっと机の長さ測ってきてよ」とお願いしました。

測ったら、こんな感じでした。
絵がへたくそでごめんね。


机の長さを測った机の長さを測った

どう見ても80センチだよねー

うん。まあそうなんだけど、この子どもなら、なんて答えると思う?

えっ!足し算ができないんだよね...
「30センチと、30センチと、あと20センチ!」とかかな?

うん。多分そうなるよね。
でも、今俺たちは足し算を知ってるから、「30センチと、30センチと、20センチ」と答えるより、「80センチ」と答えるほうが便利だし、簡単なことを知っている。

当たり前だよー
80センチ!といったほうが、分かりやすいもん!

じゃあ因数分解に戻ろう。

例えば、物理の問題を解いているとしよう。
大学で習う物理はすごく難しくて、数式ばっかりだ。

うぇぇ...物理の問題...?

いや、問題を解くわけじゃなくて、例だから、安心してね〜
問題を解いていて、無事に答えが出たとしよう。
その答えがこんなのだったらどうする?


\displaystyle \frac{2x^2+y^2+3xy+5x+3y+2}{2x+y+1}

うぇぇー意味分かんない!式がちょー長いじゃん!!

と思うじゃん?でも、こういう答えを書く人は、因数分解を知らない人だ。
因数分解を知っていたら、こんなふうに書ける。


\displaystyle x+y+2

あれ?これだけ...?

うん。さっきと同じ意味だ。

足し算を知っていれば「30センチと、30センチと、20センチ」と言わずに、「80センチ」といえた。
それと同じように、因数分解を知っていれば、一見難しそうに見える式も、簡単になる場合があるんだ。


「30センチと、30センチと、20センチ」
↓【足し算を学ぶと...】
「80センチ」

\displaystyle \frac{2x^2+3xy+y^2+5x+3y+2}{2x+y+1}
↓【因数分解を学ぶと...】
x+y+2

ほええ〜

だいぶ簡単になったでしょ!
簡単にすれば計算がしやすくなる。計算がしやすくなれば、どんどん新しい技術や商品を作ることができる。

因数分解は「直接的には」使われてないかもしれないけど、こうやって影でいろんな技術を支えているんだ。

なるほど!ちょっとだけ納得!


展開公式は図形の問題?

ところで、初めにぶつぶつ言ってた展開公式、覚えれた?

覚えるのはなんとか覚えてるよ。でもね、なんか丸暗記して使ってるだけみたいな感じで、
イマイチ、こう、「心の底から納得したぞ〜!!!」という感じじゃないというか...

うーん...

なんかね、図形の問題ってあるじゃん。あれは楽しいんだよ!
絵みたいなの書いて、色んな所の長さ求めたりするの!

でもさ、展開って、式の問題じゃん。絵書けないじゃん。

絵を書いて、この部分の長さを求めよ!とかならいいのに、
問題用紙に式だけ書いてあって「以下の式を展開しなさい」とか、もう意味分かんないよね!!!

なるほど、あかりは頭のなかでイメージできる問題が好きなんだね。

でも、展開公式って、図形を使って求めることもできるよ!

...えっ!えええ!!

(a+b)(c+d)とか、どうやったら図形の問題になるの??

なるんだなーそれが!

例えばね、こんな図形を見て欲しい。


4つに分かれた四角形4つに分かれた四角形

この四角形全体の面積はいくらかな?

えっ!面積の問題...?

えーっと、、四角形の面積は縦かける横だよねー
それで、縦がa+b、横がc+dだから、面積は(a+b)\times(c+d)!!

\timesは省略した方が、かっこいい?
省略すると、(a+b)(c+d)だね!

おおっ、なんか「展開して下さい」って感じの式が出てきた...

確かに(笑)!
では、左上の緑の四角形の面積はいくらかな?


4つに分かれた四角形の左上4つに分かれた四角形の左上

縦かける横で、ac
簡単かんた〜ん!

じゃあ、右上の水色は?


4つに分かれた四角形の右上4つに分かれた四角形の右上

adだね!

じゃあ、次は...

わかってるよ。どうせ左下と右上でしょ?
左下のオレンジの四角形はbcで、右下のピンクはbd
でも、これがどうしたの??

いま、バラバラにした4つの四角形の面積をそれぞれ求めたが、それらを足すと元の四角形の面積になる。

うん。そんなの当たり前じゃん!

...なにか気付かない?

え、何か...?うーん...

最初に求めた全体の四角形の面積って、(a+b)(c+d)だったよね?

うん。そーだけど...

そしてね。
バラバラにした4つの四角形の面積を足し合わせるといくら?

ああっ!!!!

そうか!!
4つの小さい四角形を足しあわせた面積は、ac+ad+bc+bdだよね!
で、これと、もとの大きな四角形の面積がおんなじだから、
(a+b)(c+d)=
ac+ad+bc+bdだ!!


(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
展開公式(1)
(全体の面積)=(4つの四角形の面積の和)

すごい...面積の問題から展開公式が出てきた...

ね?図形の問題になったでしょ??

これなら直感的に分かりやすい!!
なんか、よく分かってなかった展開公式の意味が、心のなかにストンと落ちてきた気がする!

そう言ってもらえると嬉しいよ!

ついでに、こんな図形を考えてみよう


4つに分かれた四角形(2)4つに分かれた四角形(2)

同じ考え方だよね!あかりがやってみる!

まず、全体の面積は、縦も横もa+bなので、(a+b)\times(a+b)です。
\timesを省くなら、(a+b)^2です!

おおっ!今後は(a+b)^2の展開公式かなー?

うんうん。それで??

はい。個々の四角形は、それぞれa^2,ab,ba,b^2です。
これらを足し合わせると,a^2+ab+ba+b^2=
a^2+2ab+b^2です!

おお!おおお!!

最後までちゃんとやろうか...(笑)

はい!
今求めた、4つの四角形の面積の和と、最初に求めた全体の面積が等しいので、(a+b)^2=a^2+2ab+b^2です!!


(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
展開公式(2)
(全体の面積)=(4つの四角形の面積の和)

正解!完璧だね!

いままで「展開」とか「因数分解」って聞くと、式ばかりでイメージがつかみにくいなーと思ってたんだけど、
こうすると、図形の問題みたいで楽しいね〜!

そうだね!問題に対していろんな見方をするというのかな。
そういう考え方は、数学においても非常に重要だ。

学校の数学の授業では、章ごとに内容を扱うよね。
平面図形の章なら平面図形だけ、展開の章なら展開だけしか扱わない。

でも、本当の数学の世界では、今回のように、式の問題と図形の問題が繋がったように、様々な分野が密接につながっていることも多いんだ。

何人もの数学者が解こうとしても全然解けない、ある数学の分野の超難問が、実は別の分野の数学とつながっていて、その分野に持って行くと、あれだけ難しかったはずの問題がすんなり解けちゃう、みたいなこともありえるんだ。

まさに、今回の、「式の展開」という問題を、図形の「面積」の問題として考えたようにね!

ふむふむ...
なんかそう考えると、数学って奥深そうだね...

ちなみに元の話に戻るけど、工夫すれば、(a-b)^2や、(a+b+c)^2の展開公式なんかも、平面図形にして求めることができるよ。

あと、面白いのが(a+b)^3の展開公式だ。
これは「面積」の問題ではなくて、「体積」の問題として考えられる。平面図形じゃなくて、立体図形だね!

ひぃぃ...式の展開の問題に立体図形まで出てくるなんて、すごいね!

ちょっと考えてみるよ!

おっ!じゃあ、ヒントだけおいておこう。
頑張って、図形からいろんな展開公式を導いてみてね!


8つに分かれた立方体8つに分かれた立方体

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