高校で教えてくれない!0を0回掛けるとどうなるでしょう?


要点チェック!
  • 自然数の0乗は、必ず1です。
  • 0を0乗した答えは、数学者の中でも意見が分かれています。
  • 数学の答えは、1つに定まらないことがあります。

数学の授業で、1や5などの自然数を0乗すると、1になる。ということを学びました。1^0=15^0=1です!なんか不思議な気もしますが...

確かに、初めに習うときは少し困惑するかもしれないね。

学校の先生には、難しく考えずに覚えろって言われました...

で、思ったんですけど、自然数以外の数ではどうなるのでしょうか?

自然数以外というのは、例えば?

「何とかの0乗」の何とかの部分が自然数じゃない時です。

例えば...(-1)^0とか、あとは0^0とか!

-10は自然数じゃないですよね?

おお!なかなかおもしろいことに気づくね!

実は驚くべきことに、数学の世界では、0^0という数は1つに決まらないんだよ。「0^0=0だ!」と言い張る数学者もいれば、「いやいや、0^0=1のほうがいいんじゃない?」という数学者もいる?

えっ!!

数学って、そんなテキトーな感じでいいんでしょうか?もっと答えがこう...バシッと決まらないと、ダメじゃないんですかね...?

やっぱりそう思う?

実は、高校数学では「答えがバシッと決まる」数学だけを扱ってるんだ。

でも、本当の数学の世界では、「答えがバシッと決まらない」問題もある。答えが存在しなかったり、証明ができなかったり...

へぇ...なんだかすごそうですね...

話を元に戻そう!


0^0はどうして定義できないのか?

0^0=1だ」と言っている数学者の主張は、簡単にいえばこうだ。

「なんとかの0乗」という数。つまり、そのなんとかをnで表すと、n^0はいくらになるか、というのを考えてみる。

どういうことですか?

例えばn=3のとき、n^0はいくらかな?

3^0=1ですよね...?

その通り。では、n=2のとき、n^0

2^0=1です。学校で覚えろと言われた問題そのままです。

そうだったね。同じようにして、1^01になる。n=1,2,3,\cdotsの時にn^0=1なんだから、n=0のときも、n^0=0^0=1になるだろ!という考え方が、0^0=1派の主張だ。


nの0乗nの0乗はすべて1?

うーん...

そう言われると、確かにそんな気もしますが... でも、0^0=0と主張する人もいるんですよね?

そうだね。では、その人の主張も見ていこう!

さっきは「なんとかの0乗(n^0)」を考えた。
次は、「0のなんとか乗(0^n)」を考えてみる。

はい。

0^3は分かるかな?

0を3回かけるだけなので、0^3=0\times0\times0=0です。

では、0^2は?

0^2=0\times0=0です。

あ!言いたいことが分かりました!

0^1=0です。だから、0^0も、0っぽいよね?ってことですよね!?

その通り!よくわかったね!

さっきの考え方と同じように、n=1,2,3,\cdotsの時に0^n=0なんだから、n=0のときも、0^n=0^0=0になるだろ!というのが、0^0=0派の主張だ。


0のn乗0のn乗はすべて0?

うーん。どちらの主張もあってそうな気はするんですが...

まさにその通りで、どちらの主張も数学的には一理あるんだ。
だから数学的には0^01にもなるし0にもなる。

なんだか数学の意外な側面を見た気がします...!

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