かわいい子には彼氏がいる?対偶を使って証明を簡単に!

要点チェック!
  • 対偶は数学で習う言葉なので、日常生活で使うときは要注意です。
  • 対偶を使えば、カラスが黒いことを、カラスを見ずに証明することができます。

ぽんさん。ちょっと質問!

どうしたの?

えっとね、数学の授業で「対偶」って習うじゃん。

うん。確か、数Aで習うのかな?

そうそう。それでね、休み時間に友達と、「かわいい子には彼氏いるよね」っていう話をしてたんだけど、そしたらその友達が、対偶は「彼氏いない子はかわいくない」だね、って言い出したんだよ。

でも、彼氏いない子でもかわいい子はいるし...っていう話をしてたら、もう訳わかんなくなっちゃって!

なるほど...(笑)

まず「対偶」という考え方は「数学の授業」で習うよね。社会や道徳の時間では習わない。だから「対偶」という考え方は「数学の世界」で使われる考え方だ。

あかりも知ってると思うけど、数学の世界はとても厳密だ。それに比べて、私たちが暮らしている「日常の世界」はあいまいなんだ。

だから、厳密な数学の世界で使われる「対偶」という考え方を、あいまいな日常の世界で使うと、少し変に感じたりする。

うーん...なんかよくわからない。

対偶ってなんだったか、分かる?

えっと、「pならばq」の対偶が、「qでないならばpでない」だよね。

pとかqってなに?

え?えっと...なんだっけ?

教科書の言葉を使うと、pqは「条件」だったね。条件というのは、なにか文字xを含んでいて、そのxに具体的な値を入れると、真偽が定まる文のことだった。例えば、『x>1』とか、『xは偶数』とか。

あ!そんな感じだったね!

簡単のために、『pでない』を \overline{p} と、『pならばq』を p \Longrightarrow q と書こう。


p,qxの条件とすると、
p \Longrightarrow q の対偶は、 \overline{q} \Longrightarrow \overline{p}

大切だったのが p \Longrightarrow q と \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} の真偽が一致することだった。

具体例、なにか言える?

xが偶数\Longrightarrow x^2は偶数」というのが正しいから、「x^2が奇数\Longrightarrow xは奇数」も正しいってことだよね。教科書に乗ってた例だけど...

そうそう!わかってるじゃん!


対偶の性質

p,qxの条件とする。
p \Longrightarrow q が正しい(真である)ならば
\overline{q} \Longrightarrow \overline{p} も正しい(真である)

では、あかりの主張を整理しよう。「かわいい子には彼氏がいる」を、条件を使って書くとどうなるかな?

「ある人がかわいいならば、その人には彼氏がいる」と考えると分かりやすいかもしれないね。

えっと、pを「xはかわいい」、qを「xには彼氏がいる」、とすれば、p \Longrightarrow qだよね。

完璧だよ!
で、なにがよくわからないんだっけ?

えっとね、みんな「かわいい子には彼氏いるよ!」っていうじゃん。これは正しそうなのに、でも「彼氏がいない子はかわいくない」って言うのは、間違ってるんじゃないかなーって思うんだ。

元の文はあってるのに、その対偶の文は間違ってるって、やっぱりよくわからないよ...


あかりの主張

pを「xはかわいい」、qを「xには彼氏がいる」とする。
p \Longrightarrow qは正しそう。
\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}は間違っている。
元の文は正しそうなのに、その対偶が間違ってるのはおかしい!

***日常言語バージョン***

『かわいい人には彼氏がいる』は正しそう。
『彼氏がいないならかわいくない』は間違っている。
元の文は正しそうなのに、その対偶が間違ってるのはおかしい!

そこが、数学の世界の「対偶」を、無理に日常生活で使ってしまったから生じる問題だよ。

今あかりは、『かわいい子には彼氏がいる』っていう文に対して、「正しそう」って言ったよね。正しそうじゃなくて「絶対に100%正しい!」って言える?

えっ...でも、みんな言ってるよ?

しかも、周りのかわいい子たち、みんな彼氏いるし...

残念ながら、数学では「みんなが言ってるから」という理由で正しいことにはならないよ。もし世界中の人が一斉に、1+1は3だ!といっても、やっぱりそれは間違ってるし、1+1は2だ。

あと、もし、あかりが知ってるかわいい子全員に彼氏がいたとしても、あかりの知らない世界中の女の子に、この主張が成り立つかどうかもわからない。

この『かわいい子には彼氏がいる』という文は、もし一人でも、かわいいけど彼氏がいない人がいたら、間違い、つまり「偽」になってしまう。

おそらくそういう人はいるだろうから、その対偶「彼氏がいないならかわいくない」というのも誤りだ。


数学的な主張

pを「xはかわいい」、qを「xには彼氏がいる」とする。
p \Longrightarrow qは間違っている。
よって、その対偶\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}は間違っている。

***日常言語バージョン***

『かわいい ならば 彼氏がいる』は間違ってる。
よって、その対偶『彼氏がいない ならば かわいくない』は間違っている。

あっ、そうか。日常では正しいと思ってることでも、しっかり厳密に考えてみると、間違ってる場合があるってこと?

そう、その通り!「対偶」は数学の証明のように、厳密な議論で使うルールだ。中途半端な知識で日常生活に使ってしまうと、間違った考えにたどり着いてしまうこともあるので、注意しないといけないよ。

はーい。

せっかくなので、対偶の話をもうちょっとだけしよう。

高校の数学で「対偶」を勉強する一番の理由は、証明に使えるからだ。

対偶を使った証明法っていうの、授業でやった気がする!

じゃあまず、超簡単な問題を使って p \Longrightarrow q の証明法を確認してみよう。

例えば、こんな問題できるかな?


問題:x=3 \Longrightarrow x^2=9であることを証明せよ。

えっ、こんなの当たり前じゃないの?

うーん。当たり前といえばそうかもしれないけど、きちんと手順を踏んでみよう。

p \Longrightarrow q を証明する1つの方法は、pが正しいことを仮定して、qとなることを示せばいい。

これを「証明法(1)」と呼ぼう。


p \Longrightarrow q の証明法(1)

問題:p \Longrightarrow q であることを証明せよ。

【証明】
pを仮定する。
\vdots
qである。
よって、 p \Longrightarrow q である。(証明終)

なるほど。この証明に当てはめればいいんだね!


問題:x=3 \Longrightarrow x^2=9であることを証明せよ。

【証明】
x=3を仮定する。
両辺を2乗すると、x^2=9である。
よって、x=3 \Longrightarrow x^2=9である(証明終)

そう。いい感じ!

でも、この p \Longrightarrow q は違う方法でも証明できる。それが対偶だ。

これを「証明法(2)」と呼ぶことにする。


p \Longrightarrow q の証明法(2)

問題:p \Longrightarrow q であることを証明せよ。

【証明】
初めに \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} を示そうと思う。
\overline{q} を仮定する。
\vdots
\overline{p} である。
よって、 \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} が示される。
対偶の性質より、 p \Longrightarrow q である。(証明終)

なるほど!まずは \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} が正しいということを証明すれば、対偶の性質から、 p \Longrightarrow q が正しいことが分かるんだ!

そう、その通りだよ!

数学で p \Longrightarrow q であることを証明しなさい。という問題が出た時に、正攻法で証明しようとしても、なかなか難しい時がある。

そんな時でも \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} を示せれば、 p \Longrightarrow q を示したのと同じことになる。

p \Longrightarrow q でも、 \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} でも、どっちでも簡単な方を証明しちゃえばいいってことだね!

そうそう、対偶を使えば、証明の書き方の選択肢が広がるってことだね。

これを使えば、難しい証明問題も簡単になるかもしれない。証明問題が嫌いな人は、覚えておくといいよ!

はーい。

そういえば、対偶を使うとちょっとおもしろいことが起こる。それが「ヘンペルのカラス」というお話だ。

カラス?

うん。カラスに関連したお話で、ドイツの哲学者であるカール・ヘンペルが提唱した議論だ。

ところで、カラスって何色?

えっ、黒でしょ?

本当に?

...また変なことたくらんでるでしょ?

変なことじゃないよ(笑)
では、あかりは「地球上に存在する全てのカラスは黒い」ということを、どうやって証明しますか?

ほら〜!知らないよそんなの!(笑)

でも、これをきちんと証明しないと、「カラスは黒色である」ということが言えないよ。

そんなの、全てのカラス捕まえて、全部調べないと無理だよ!

うん。それも1つの証明方法だ。

え?1つの方法?

他にも「地球上の全てのカラスは黒い」ということを証明する方法があるの?

あるよ!

しかも、その方法ではカラスを1匹も調べる必要がない。

いやいや、何言ってるのぽんさん。さすがにそれは無理だよ。

カラスを1匹も調べないで「カラスは黒い!」なんて言えるわけないよ!

そう思う?では、やってみよう。

今、示したいことは、p:「xはカラス」、q:「xは黒い」だよね。


p:「xはカラス」、q:「xは黒い」とする。
問題:p \Longrightarrow qを証明せよ。

うん。ここまでは分かるよ。

あかりが言った、全部のカラスを捕まえて黒いことを調べる方法は、さっき話した「証明法(1)」だ。

以下の証明は、カラス研究者が頑張って、世界中のカラスの色をすべて調べて、全て黒色だったことを前提として読んで欲しい。


p:「xはカラス」、q:「xは黒い」とする。
p \Longrightarrow qを証明せよ。

【証明法(1)を使った証明】
pを仮定する。
仮定より、xはカラスだから、
カラス研究者の努力によって、xは黒い事がわかる。
よって、qである。
つまり、 p \Longrightarrow q である。(証明終)

なんか、当たり前すぎてよくわからない。

それに対して、対偶を用いた「証明法(2)」でも、証明することができる。

以下の証明は、暇な人が「世界中の黒くないものを集めたら、その中にカラスはいなかった」ということが分かってることを前提として読んで欲しい。


p:「xはカラス」、q:「xは黒い」とする。
p \Longrightarrow qを証明せよ。

【証明法(2)を使った証明】
初めに \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} を示そうと思う。
\overline{q}を仮定する。
仮定より、xは黒くない。
暇な人の努力によって、xはカラスではないことがわかる。
よって、\overline{p}である。
つまり、 \overline{q} \Longrightarrow \overline{p} がわかる。
対偶の性質より、 p \Longrightarrow q である。(証明終)

この証明の凄いところは、カラスを調べてないんだよ。カラスの代わりに、世界中の黒くないものを調べている。

世界中の黒くないものを調べれば、カラスが黒い事がわかる。


カラスが黒いことを示す方法カラスが黒いことを示す方法

まって...なんかやっぱりよくわからないよ。

うーん。

例えば、あるクラスのAさんが、眼鏡をかけているかどうかを調べたいとしよう。

あかり、どうする?

え、Aさん呼んでくればいいんじゃないの?

うん。それが証明法(1)であり、カラスで言うと、世界中のカラスを調べる方法だ。

証明法(2)ではどうするかというと...

あ!そうか!

「メガネかけてない人集合!」ってすればいいんだ!

そう!その通り!

Aさんがいるクラスで、眼鏡をかけていない人を全員集める。そしてその中にAさんがいなければ、Aさんは眼鏡をかけていることが分かる。


Aさんが眼鏡をかけているか調べる方法Aさんが眼鏡をかけていることを示す方法

Aさんを直接見てないのに、Aさんが眼鏡をかけてることが分かるんだ!なんか凄い!

さっきのカラスの例も同じで、「世界中の黒くないもの集合!」といって、集合させてみる。

多分そんなの出来ないけどね(笑)

まあ、仮の話だからね。暇な人が頑張ったんだよ。

そして、その集合の中にカラスがいなければ、カラスを調べなくてもカラスは黒い!ということが分かるんだ!


xはカラス \Longrightarrow xは黒い」 の対偶は、
xは黒くない \Longrightarrow xはカラスではない」

xはAさん \Longrightarrow xは眼鏡をかけている」 の対偶は、
xは眼鏡をかけていない \Longrightarrow xはAさんではない」

まとめると、こんな感じかな?

あるものを見なくても、あるものの性質が分かる...
なんか、対偶って凄いね...!

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