平均点以上でも喜んじゃダメ！順位は最後から2番目かも？

この前、中間テストがあったんですよ！

おう。で、結果はどうだった？

数学の点数が、平均点より上だったんですよ！これって頭がいいってことですよね？！

喜んでいるところ申し訳ないんだが、そうとも言えないぞ。

えっ！そうなんですか…？

例えば、5人がテストを受けて、はるかが80点、他の4人が、100点、95点、90点、10点だったとする。

平均点は分かるかな？

$$(100+100+100+80+10)\div5=75$$
なので、平均は75点ですね。

私の点数は80点なので、平均点より上です！

うん。それで、順位は何位？

え、えっと…

わ！下から2番目です！

そう。それでも、はるかは喜べる？

喜べません。だって、自分より点数の高い人が3人もいて、私は5人中4位だもん。

そうだよね。このように、点数は平均点より高いのに、順位で見ると、半分より下になることがあることがあるんだ。

平均点以上でも、順位は下になることがある

平均点より上だからって、順位も上だとは限らないんですね。

相加平均とは？相乗平均とは？

ところでぽんさん。数2で相加相乗平均の関係をやりました。

でも、公式だけ見ていても意味不明なんです。

相加相乗平均の関係
$$\displaystyle \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$$

そうか。ではまず、相加平均、相乗平均とは何か、というところから見ていこう。

相加平均は、よく知られてる普通の平均のことなんだ。

…といいますと？

例えば、A君、B君の身長が、それぞれ168cm、172cmとしよう。

この時、2人の身長の平均はいくらか計算できる？

えっと…

$$(168+172) \div 2=170$$ なので、平均は170cmです。

うん。正解！

実は、これが相加平均なんだ！

あ、そっか！

私たちが日常生活で使ってる平均を、難しい用語で「相加平均」って呼ぶってことですね！

そう！その通り！

2つの数を足して、それを2で割るのが相加平均だよ。

じゃあ、「相乗平均」って一体なんなんですか？

うーん、そうだな…

さっきは身長を平均したけど、じゃあ、アリの大きさと地球の大きさの平均ってどれぐらいだと思う？

うーん…

すごく小さい「アリ」と、すごく大きい「地球」の平均だから、人間の身長とか、ビルの高さぐらいじゃないですか？

じゃあ、計算してみよう！

アリと地球の大きさの平均

アリの体長：$$0.01$$m(1cm)
地球の直径：$$12742000$$m(12742km)

平均は、$$(12742000+0.01)\div2\fallingdotseq6371000$$ m（地球の約半分）

ということで、アリと地球の大きさの平均は、6371kmだ。

ん？なんか大きすぎるような…？

感覚と全然違ってしっくりきません。

そうだよね。ここで相乗平均を計算してみよう。

相乗平均とは、2つの数をかけて、それの2乗根（ルート）を考えるんだった。

アリと地球の大きさの平均

アリの体長：$$0.01$$m(1cm)
地球の直径：$$12742000$$m(12742km)

平均は、$$\sqrt{12742000\times0.01}\fallingdotseq357$$m

ということで、アリと地球の大きさの平均は、357mだ。

うん、なんだか感覚とあってる気がします！

でも…

どうしたの？

いや、よくよく考えると、平均が色々あるって変じゃないですか。

そもそも平均ってなんなのか、よくわからなくなってきました。

じゃあ、基本に戻ってみよう！

そもそも、何のために「平均」という数を考えるのか分かる？

…改めて聞かれると、なぜでしょう？

平均の役割は、「複数のデータを簡潔に示す」ことだ。

…ピンときません。どういうことでしょうか？

例えば、2年A組と2年B組という2つのクラスがある。

そこで、どっちのほうが全体的に見て背が高いのか、知りたいとしよう！

今、A組とB組、それぞれの組に30人の生徒がいるとします。はるかだったらどうする？

うーん…

A組の生徒の身長は150cmと170cmと130cmと…、B組の生徒の身長は160cmと180cmと140cmと..って、順番に見ていけばいいんじゃないんですか？

うん、それも一つの方法だ。

でもそれだと、60人の身長を比較しなきゃいけないよ？

確かに、大変です…

そんなときに平均を使うんだ。「A組の平均身長が164cm、B組の平均身長は159cmです。」って言われたらどうかな？

なるほど！分かりやすい！

だろ？これが、平均の役割は「複数のデータを簡潔に示す」ってことなんだ。

平均は「代表値」とも呼ばれる。A組の身長のデータを全部見るのは大変だから、平均値が「A組代表」として教えてくれるんだ。

なるほど！

平均は集団を代表する「代表値」の1つ

でも、普通の平均、つまり相加平均だけだと、さっきの地球とアリの例みたいに、おかしな数字が出てくることがある。

だから、与えられているデータの数字や種類を見て、相加平均を使うのか、相乗平均を使うのか、考えなければならない。

なるほど！

実際、日常生活で相乗平均を使うほうが良い例は少ないんだ。だから、相加平均だけ知ってれば、なんとかなる場合が多い。

でも、極端に大きい値や小さい値を扱うときや、経済学の研究、あと、お金の計算をするときは、相乗平均をよく使うんだ。

平均を調べる対象により、適切な平均は異なる

相加相乗平均の公式

で、結局、相加相乗平均の式は何を言ってるんですか？

ああ、すっかり忘れてたね笑

さっき、はるかは数式で書いてくれたけど、日本語で相加相乗平均の式を書くと、こうなる。

相加相乗平均の式

【数学バージョン】
（相加平均）$$\ge$$（相乗平均）

【日常バージョン】
どんな場合でも絶対に、相加平均は、相乗平均より大きくなる

A君、B君の身長がそれぞれ168cm、172cmだったとする。この時2人の身長の相加平均と相乗平均を求めてみよう。

相加平均は、$$(168+172)\div2=170$$ よって170cm。
相乗平均は、$$\sqrt{168 \times 172}\fallingdotseq169.98$$　よって169.98cm。

相加平均と相乗平均の大きさをくらべてごらん。

ほんとだ。相加平均のほうが大きい。

ね。これがどんな数に対しても常に成り立つと言っているんだよ。

なるほど！

さっきは2人の人を考えましたけど、3人とか、4人の場合でも成り立つんですか？

うん、実は、相加相乗平均の公式は、3つ以上の数字でも成り立つことが証明されているんだ。

えっ！3つ以上の相加相乗平均ってどうやって計算するんですか？

相加平均では3つの数を足して、3で割る、相乗平均では、3つの数をかけて、3乗根をとったりするんだよ。

相加相乗平均の関係（3つのとき）

$$\displaystyle \frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$$

そうなんだ。便利な公式ですね。

そうだろー！ちなみに相加平均は算術平均、相乗平均は幾何平均と呼ばれているんだ。

いろいろな平均

相加、相乗以外にも、平均ってあるんですか。

あるよ、例えば調和平均とか。

調和平均（2つのとき）
$$\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$$

うわ。調和平均ってなんだか複雑そうですね。

確かに、式はややこしい。

でも、この調和平均は、音の高さと弦の長さなどの音楽理論で用いられる、立派な「平均」の1種なんだ。

平均って、たくさん種類がありますね。何種類あるんですか？

実は、平均は無限種類考えることができるんだ！

ええっー！

平均の一般式というのを紹介しよう。

平均の一般化式

$$\displaystyle \sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{m}}$$

この式において、mに1を代入すると相加平均に、0を代入すると相乗平均に、-1を代入すると調和平均になる。
※相乗は厳密には、m→0

mには、好きな整数を入れることができて、好きなだけ平均を考えることができるんだ。

わあ！すごいですね。

ちなみに、m=2のときは、二乗平均平方根と呼ばれている。それ以外のmは、名前はついてないけど、いろんな平均があるよってことだ。

平均について、いろいろと理解できたような気がします！