人生の長さは約25億秒。こんなときこそ指数を使おう！

今日、学校で友達と、生まれてから今まで何秒経ったかって計算してたんですよ。

おもしろいことするね。何秒だったの？

私が今17歳だから、17歳×365日×24時間×60分×60秒=536112000秒です！

約5億秒か！凄いね！

俺は今19歳だから、19歳×365日×24時間×60分×60秒=599184000秒だね。

人間の平均寿命を80歳とすると、人は平均で何秒生きるんだろう？

えっと、80歳×365日×24時間×60分×60秒=2522880000秒です！

25億秒！すごい！

じゃあね、人間が誕生したのが約200000年前だよ。

えっ！計算するんですか！？

できる？

えっと、200000年×365日×24時間×60分×60秒=6307200000000秒です！

約6兆秒だね！

すごい！

じゃあ、地球が生まれるのが46億年前！

ひっ…笑

4600000000年×365日×24時間×60分×60秒=145065600000000000秒です…

兆の上って、なんて数えるんでしたっけ？

「京」っていうんだよ。だから、約14京！

すごいですね…

せっかく頑張って計算したんだから、表にしてまとめてみようか。

はい。

〜3分後〜

表にしてみました。こんな感じですか？

生まれてから今までの秒数

うーん、なんか0が多すぎて見難いですね…

じゃあ、指数で表現しよう。指数は授業で習ったよね？

はい！習いました。

例えば、536112000は、だいたい5.36×100000000とおんなじだよね。

100000000は指数を使えば、$$10^8$$とおんなじだ。

だから、536112000は$$5.36\times10^8$$とできるんだ。

あ、なるほど！

そんな感じでまとめていくと、表はこんな感じに書ける。

指数で表現した生まれてから今までの秒数

わ、なんかすっきりしますね！

指数を使えば、どんな大きな数でも、どんな小さな数でも、上手に表現することができるんだ。

-1乗ってなに？

私、中学校で指数を初めて習った時、例えば$$a^b$$だったら、aをb回かけると思ってたんですよ。

中学校で習う指数

$$a^b=\underbrace{a \times \cdots \times a}_{b}$$

でも、高校に入ると$$2^{\frac{1}{2}}$$とか、$$2^{-1}$$とか、指数の部分が自然数じゃないものが出てきました。

なので、ちょっと困惑してるんです。2を-1回かけるって、なんなんですか？

中学の考え方で$$2^{-1}$$を計算する

$$2^{-1}=\underbrace{2 \times \cdots \times 2}_{-1(?)}$$

確かにそうだよね。俺も最初はよくわからなかったよ。

でもこれは、「拡張」という、数学の世界ではすごく大事なことをやってるんだ。

「拡張」ですか？

そう、中学校で習う指数は、最も簡単な「拡張される前」の指数なんだ。

中学校で習う指数では、例えば$$a^b$$だったら、bは絶対に正の整数だった。

はい、そうです。$$2^2$$とか、$$-2^{2}$$とかでした。

その時、こんな法則が成り立つのは分かるかな？

指数法則

b,cが正の整数のとき、
$$a^{b+c}=a^b \times a^c$$

これは、具体的に掛け算する回数を書いてみると分かりやすい。

指数法則

$$\underbrace{a \times \cdots \times a}_{b+c}= \underbrace{(a \times \cdots \times a)}_{b} \times \underbrace{(a \times \cdots \times a)}_{c}$$

あ、わかります！

例えば、aを5回かけるのと、aを3回かけたものと、aを2回かけたものを、かけ合わせたものは同じ、ってことですよね？

指数法則の具体例

そう、でもこれは、中学で習う指数、つまり$$a^b$$のbが、正の整数の時に成り立つ法則だ。

でも、ここで数学者はこう考えるんだ。

この法則を保ったまま、指数を「拡張」できないだろうか。

？

つまり、「正の整数の時に成り立つ法則を保ったまま、負の数や有理数の範囲まで広げることはできないだろうか？」ということだ。

え…なんかすごそうですね…

そこで生まれたのが、高校で習う指数だ。

もし「仮に」、さっき見せた指数法則が負の数にも成り立つとしよう。そうすると、こんなのが成り立つよね。

負の数でも指数法則が成り立つなら

$$a^{1}\times a^{-1}=a^{1+(-1)}=a^{0}=1$$

ここで、$$a^{1}=a$$だから、
$$a\times a^{-1} = 1$$
両辺aで割って、 $$a^{-1} = \frac{1}{a}$$

あ、高校で習う指数が出てきました！

そう！分数の場合でも同じことが言える。

分数でも指数法則が成り立つなら

$$a^{\frac{1}{3}} \times a^{\frac{1}{3}} \times a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}}=a^{1}=a$$

3乗してaになる数を考えると、
$$a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$$

おお、これも教科書で見たことがあります！

ちょっとまとめるよ。

俺たちは中学校の時、$$a^b$$っていうのは、「aをb回かけた数」と習った。

そしてその時、「指数法則」という法則が成り立つ。

でもここで、数学者はこんな妄想をしたんだ。

もしaを-1回かけたり、aを$$\frac{1}{3}$$回かけることができたら、それはどんな数になるんだろう？

妄想ですか？なんか面白いですね笑

そう、現実の世界では絶対に無理な世界を、数学の世界では実現できるんじゃないかと思って「妄想」したんだ。

そして、「指数法則」をしっかりと保ちつつ、なんとか指数の考え方を、正の整数よりもさらに外側に、ぐいっと「拡張」できないかと考えた。

「拡張」のイメージとしては、こんな感じかな？

指数は有理数まで拡張できる

その結果が、高校の教科書に載っている指数なんだ。

へぇーなんか凄いです！

数学者って、妄想が好きなんですかね…？

うん。それは俺もすごく思うよ。

数学をやっている人は、何かある考えを思いついた時に、「この考え方をどこか別のところで使えないだろうか？」とか、「この考え方をもっと広げて、色んな物に応用できないだろうか？」とか、妄想するのがすごく得意だ。

でも、適当な妄想は絶対にしない。数学というのは、決められたルールや規則の中で行うゲームだ。

でも、それは逆に、決められた規則やルールに従えば、何をやっても許されるということなんだ。

「aをb回かける」という指数の考え方も、数学者の妄想力を使えば、ある数を-1回かけたり、$$\frac{1}{2}$$回かけるといった、現実では絶対にできないようなことを考えることができる。

この妄想は、俺たちにとってはめちゃくちゃにみえるかもしれない。けど、決して数学者はめちゃくちゃな妄想をしてるわけじゃない。「指数法則」という絶対に守らなければいけないルールの中で、試行錯誤しながら、妄想、つまりは「拡張」してるんだ。

なんだかそう考えると、おもしろそうですね！

ちなみに、この拡張には、さらに続きがある。

え、もっと拡張できるんですか？

そう！有理数の次は何だと思う？

有理数よりさらに拡張できる？

えっと、無理数とかですか？

そう！それがひとつ目の拡張。この拡張には、指数定理だけでは追いつかない。極限という考え方を使って拡張するんだ。

じゃあ、有理数と無理数、つまり実数全体まで拡張できたら、その先は何だろう？

ひょっとして、虚数…？

そう、なんと数学者は、数を虚数乗するということも考えたんだ。この考え方は、大学の数学で勉強するよ。

指数は虚数まで拡張できる

虚数って、2乗したら-1になる、あのよくわからない数ですよね？

そう、だから、現実では出来ないけど、「2を虚数回かける」という操作が数学では出来てしまうんだ！

数学者の妄想って、すごいですね！