ギネスブックに載った世界一大きな数がヤバすぎる！

要点チェック！

タワー表記を使えば、大きな数を表すことができます。
グラハム数は世界一大きな数としてギネスブックに載っています。

登場人物についてもっと詳しく！

以前、数の数え方で、「億」や「兆」よりも大きい「京」という単位があることを教えてもらいました。

人生の長さは約25億秒。こんなときこそ指数を使おう！

ところで、「京」より大きな数の数え方ってあるんですか？

もちろんあるよ！京の次は「垓」だ。

それより大きい数は、以下のように続いていく。

大きな数の数え方

一→十→百→千→万→億→兆→京→垓→杼→穣→溝→澗→正→載→極→恒河沙→阿僧祇→那由他→不可思議→無量大数

「無量大数」って聞いたことあります！

無量大数は、1の後ろに0が68個続く。

だから、100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000だね。

すごい大きいんですね！

もうここまで来ると、現実世界で使われることは無い。

せっかくなので、世界一大きな数のお話をしよう。

恐怖の再帰

ところで、掛け算のルールってしってる？

ルール？ですか？

そう、かけ算をするときに使う決まり事のことだ。数学では「定義」と言ったりもする。

例えば、2×3ってどういう意味？

えっと、2を3回足します。

じゃあ、m×nは？

mをn回足せばいいんですよね？

はるかの掛け算のルール

$$m \times n = \underbrace{m+\cdots+m}_{n}$$

あれ、何か間違ってますか？

いや、あってる。その通りだ。

例えば、2×3を計算してみると、こんな感じになるよね。

$$2 \times 3 = \underbrace{2+\cdots+2}_{3} = 2+2+2=6$$

はい、2を3回足して、6です。

でも、こんなの当たり前ですよね？

うん、そうだけど…

実は、かけ算のルールは、他にもあるんだ！

はるかが言った、さっきのルールを使わずに、こんなルールを使っても、かけ算が計算できる。

ぽんさんの掛け算のルール

$$m \times n = m + m \times (n-1) \\ m \times 1 = m$$

え、これで掛け算が計算できるんですか？

うん。じゃあ、上のルールを「ルール1」、下のルールを「ルール2」として、2×3を計算してみよう。

ぽんさんのかけ算のルール

ホントだ！計算できました。

同じかけ算なのに、ルールがいくつもあるって、なんだか面白いですね！

そうだね！

よく見てみると、はるかの定義では、「かけ算をたし算」に変換している。でも、俺のルールは「かけ算はかけ算」のままだ。

このように、「あるものを、あるもので定義する」ことを、「再帰的な定義」というんだ。

かけ算のルールの比較

今回のぽんさんの例は、「かけ算をかけ算」で定義しているから、「再帰的」ってことですね！？

そう。再帰というのは、例えば、かけ算を計算しても、再びかけ算に帰ってくる、というイメージかな。

この「再帰的定義」が、大きな数に関係あるんですか？

そうだよ。大きな数を作るのには、基本的にこの「再帰的定義」が用いられる。

例を挙げると、「指数」や「階乗」なども、全て再帰的定義で表現できる。

そうなんですね。指数を使うと、すごく大きな数が表現できるんですよね？

よく知ってるね！その通りで、例えば、最初に話した無量大数はめちゃくちゃ大きいんだけど、指数を使えば$$10^{68}$$と簡単にかける。

0をいっぱい書かなくていいので、簡単ですね！

そうだね！

でも、ここで数学者は「指数でも表現できないほど大きな数」を考えたんだ。

その数は、数学で使われた世界一大きな数として、ギネスブックにも載っている。

ギネスブックに！？それってどれだけ大きいんですか？

気になる？

はい！

じゃあ計算してみよう。

タワー表記

まず、タワー表記というものを考える。

タワーですか？

そう、例えば、指数表記では、数字を右上に小さく書くことで、ある数を表現してきたよね。

でも、今から考える大きな数は、大きすぎて指数では表せない。だから、タワー表記という新しい数の表し方を考える。

このタワー表記には、↑を使うんだ。

いろいろな数の表し方

なんだかおもしろそうです！

はじめは簡単だ。以下のルールを覚えよう。

タワー表記のルール(1)

$$a \uparrow b=a^{b}$$

どういうことですか？

$$a \uparrow b$$というのは、$$a^{b}$$と全く同じ意味だよ。ということだ。

でもそれじゃ、わざわざ「タワー表記」を考える必要なくないですか？

まあまあ、そのうち分かるよ。

$$3 \uparrow 3$$はいくらかな？

え、指数と同じだから、$$3^3=3 \times 3 \times 3 = 27$$ですよね？

うん！正解！

「矢印1つは指数と同じ」とおぼえておこう！

矢印1つは指数と同じ…

じゃあ次だ。

タワー表記のルール(2)

$$a \uparrow\cdots\uparrow 1=a$$

$$\uparrow\cdots\uparrow$$ってなんですか？

これは、矢印がいくつあっても、と言う意味だ。

「矢印の右が1なら左の数」と覚えよう。

矢印の右が1なら左の数…

じゃあ、$$3 \uparrow\uparrow\uparrow 1$$はいくらかな？

「矢印の右が1なら左の数」だから…

3…ですよね？簡単すぎません？

確かに。まだ簡単だ。

でも、おもしろいのはこれからだよ。

タワー表記のルール(3)

$$a \underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{n} b = a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{n-1}\{a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{n}(b-1)\}$$

わ、一気にわからないです…

この式は理解できなくてもいいよ。文字がいっぱい使われていて難しいからね。

はい…

でも、理解して欲しいのは、このルールが、俺がさっき紹介した、かけ算のルールとよく似ていることだ。

確かに、bがb-1になったり、nがn-1になったりしてます！

そう、さらに、↑の計算を↑を使って定義している、つまり「再帰的定義」だ。

あ、本当です！再帰的です！

じゃあ実際にちょっと計算してみよう。

3↑3はいくらかわかる？矢印1つだ。

「矢印1つは指数と同じ」なので、$$3^3=27$$です！

おお！正解だ！

$$3\uparrow3=27$$

じゃあ次は、3↑↑3を計算しよう。矢印は2つ。

さっきのルールを使えば、こんな感じで、どんどん計算できる。

$$3 \uparrow\uparrow 3 \\ =3\uparrow\{3\uparrow\uparrow 2\} \\ =3\uparrow\{3\uparrow\left(3\uparrow\uparrow1\right)\} \\ =3\uparrow\{3\uparrow3\}$$

矢印1つは？

指数と同じ！

ということでもう少し計算すると….

$$=3\uparrow\{3\uparrow3\}\\ =3\uparrow\{3^3\}\\ =3^{\left(3^3\right)}$$

3の3乗の3乗ですか？

いや、括弧の位置をよく見て欲しい。右側から計算しないといけないね。

ということは？

「3の「3の3乗」乗」だね笑

さんのさんのさんじょうじょう…

ところで、$$3^{\left(3^3\right)}$$って、いくらですか？

右上から計算すると、$$3^3$$は27だ。だから、3を27回かければ答えがわかる。

今、パソコンで計算してみたけど、7625597484987だね。約7兆だ。

え、ちょ、ちょっと待って下さい。

$$3 \uparrow 3$$は27でした。

矢印がたった1つ増えただけで、$$3 \uparrow\uparrow 3$$は7兆になるんですか？

うん。この規則に従う限り、そうなるんだよ。

…すごい！

まだまだ行くよ！ついてこれる？

わ、分かりました…

次は、$$3 \uparrow\uparrow\uparrow 3$$を計算してみよう。

矢印3つ…

いくよー

ちょ、ちょっとまってください！

これ、いつまで続くんですか？

式をよく観察すればわかるけど、1回計算するごとに、右側の数字が1ずつ減っている。

ということは…

あと、約7兆回計算するということだね。

ひいい…

ちなみに計算し終わるとこうなる。

$$3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 \\ =3\uparrow\{3\uparrow\cdots\{3\uparrow3\}\cdots\}\\ =\underbrace{3^{3^{3^{3^{\cdots^{3}}}}}}_{7625597484985}$$

これ、なんて読めばいいんですか？

さっきとおんなじように、右から計算していくから、

3の3の3の3の3の3の3の3の3の…[約7兆回繰り返す]…3の3の3乗乗…[約7兆回繰り返す]…乗乗乗乗乗乗乗乗だね。

うっ…

これって、普通の数字で表せないんですか？

残念ながらここまで来ると無理だ。もう我々人類が想像できる範囲の数を遥かに超えているからね。

でも、どれぐらい大きな値なんでしょう？

うーん、じゃあ、ちょっとだけ計算してみようか。

求めたいものは、3を7兆回繰り返している。

もちろん、それを一気に計算するのは無理だから、2回繰り返した時、3回繰り返した時、と順番に見ていこう。

計算するとこんな感じだ。

2回繰り返した時
$$3^3=\underbrace{3^{3}}_{2}=27$$

3回繰り返した時
$$3^{3^{3}}=\underbrace{3^{3^{3}}}_{3}=7625597484985$$

4回繰り返した時
$$3^{3^{3^{3}}}=\underbrace{3^{3^{3^{3}}}}_{4}=$$13977936562527681309559896646703124616867185714628844613218610493124566792222419836786710036624890174398352836749462174145807109860937446818815772630481781891509976498420135226445850602401110872665668356435259774143577540817829762991059756095862516543246391651551731379244565060262368313982222529540094589054767250633874439736500858261886505708770366389709575806903669971654607549244789304908766123566246100546709094305510977174193419488952266631835005266862155392914076984585710261786698505261363620242203150538392981251496934503066019843779769795274029909107444509790396438178312144204755354596137357026021501192347439415435873333448900102002125115829172279011997013417171448587845690981233900535428401876686379846870581199776222211087226500665667128426641550530569449896635397169089597367113624587440661888455010479601169311404402663427892565503508950839503918682358120628518840922040744310090397719712617409269443810135030761640078526172137885825568809698343867775891620054263834108008974538453103154375988659391576898010788111462517183128121194014703906032186077707343152476592070230540941848712354282473397730590298849136481556213925078917318108520855501530858038915198461346693510691334823265962023859658861153643767778486093059453620461497096560975149514036791748871817063217197979441045423343502059614930704085585127107737014458951603114180382825651500438871115574477286626197246535404181292386750579543520700864113107091460687749181562509423724506025087012094633970512601455599050116273408006829077303741475901285608152139168001378556274051847624251291378262982665446974308890042525515495387272098829044823613446945665388359203029833210574366168030382374388190536749872216234756897443197645807855108424212701164905871259249622642866320356924973232131566639708501494340891270865226028421960450869543072863298078912244919422288107274410290564048075216387000845936306219958740430504696783760947111284467567998533433845519595050971567565924885362618071354882063106705537167931326664950534673147863399038577478017034874688877272666563682333015549985929339331107920193676932786552713118630855788491154574630933318168671359177009031854429150994811653797549844020765434478272613430483710316670390864758901816901398536445070281261473066763884619459849373504272430320056344928355776590882207413076872933610812354289638291932443610004469700203410539713295315863354153864339202491392131491434259450806450178170769518635126966078510926242775577833836509111264492907964043674828023712454995489780868659727272775894152479200957778722165284011648558020363815102183253500833097339012170012846935368480549345191684185007242026033272571785665551671416922981347737074910181579977989141908963705896698983651573488285004746014124117492132944286251835090233678135762881068696023813639319613948641315744182961078046370882756306088145961233909022652856240545814724960831082727660744929480734350886020461442838975171232069711517684561026098414996223118432488352724186164349740391037088962114931770153469650278938304627172416680536891565678349888618153887640289954058103163702844762601304546137709073594388777563486607325110139020076936170048199148266215028150406167057339936189529831289467770720367111064904423280468472209729637220811403012036887210898085201718972214964008632781249083120532165687734444450348617249873788497243663635976623528980342683435512305512440113019413812900968050739259766901288946896769399587140061707950987280322735681919273236524399868134658306012992759762418568637297435268586264627295734729043131591482151005276323636263587863058996061845860488644408892327259593098022655527091320946135703943751801736337115603396971803025102022067523192672586467813090626957015545323181328361295417949584610102189679095590151387316182047654314426656479969149626158357103301681413977782723779701590998343321051310750592206721136337…

これのあと10億倍あるけど、まだ表示する？

い、いや、もういいです。すごいですね…

でも、これでも3の3の3の3乗乗乗だよ。たった4回繰り返しただけだ。

じゃあ、3の3の3の3の3の3の3の3の3の…[約7兆回繰り返す]…3の3の3乗乗…[約7兆回繰り返す]…乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗乗っていくらだろうって思うと、なんか凄いよね。

もう、なんか言葉も出ないです…

$$3 \uparrow\uparrow\uparrow 3$$っていうのは、それだけ大きな数なんだよ！

では本題に戻ろう。ギネス記録まではまだまだだよ！

えっ…まだあるんですか！！

うん。でも疲れたから、先に結論を言おう。

結論を言うと、ギネス記録に載ってる世界一大きな数は「グラハム数」と呼ばれている。

いま、矢印を使ったタワー表記というのを学習してきたよね。

矢印の数が増えるほど、人間の予想を遥かにこえる勢いで、爆発的に数が増えていくことが分かった。

はい、矢印2つでいきなり7兆倍とか出てきて、矢印3つになると、全く理解できないくらい大きな数が出てきました。

グラハム数もこのタワー表記を利用して表現できる。

まず、$$3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3$$を考える。

矢印4つ…

ここで驚いてはダメだ。

いや、これだけで十分大きいですよ！

落ち着いて聞いて欲しいんだけど、

$$3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3$$は「数」だ。3とか10とか500とかとおんなじ、ある「数」を表している。

…はい。

ということは、

…ということは？

さっきは矢印の「数」が「4」個あるタワー表記を考えたんだけど…

それと同じように、矢印の「数」が「$$3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3$$」個あるタワー表記を考えることができる。

$$3 \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3} 3$$

…

さらにだ、そうしてできた数だけ矢印の数があるタワー表記を考える。

$$3 \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{3 \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}_{3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3} 3} 3$$

…

これを64回繰り返したものが、グラハム数だよ。

…

もう、全く何がなんだかさっぱりです…

正直、誰もこの数の大きさを理解できないよ。

もし、この宇宙に存在している、星などの全ての物質を集めて、その原子1つ1つを全てインクに変えて、1つの原子が1つの数字を印刷できたとしても、$$3 \uparrow\uparrow\uparrow 3$$までしか書けないんだ。

現実的に考えられるどれだけ大きな数を持ってきたとしても、グラハム数の64回の繰り返しの内の、一番最初に考える数にも及ばない。それぐらい大きな数なんだよ。

すごいですね…

Wikipediaにもいろいろと書いてあるので、見てみるとおもしろいよ！

グラハム数 – Wikipedia

また読んでみます！

ここまでいろいろと見てきたけど、数学を使えば、感覚的に理解できないものが扱えるんだ。