- 度数法と弧度法は、角度の測り方の1つです。
- ラジアンを使うことで、三角関数の微分積分の計算が簡単にできます。
- 三角関数の微分積分は、スマートフォンのネット通信に役立っています。
ぽんさん、お久しぶりです
久しぶりだな、はるか
今日はまた、教えてもらいたいことがあって・・
どうした？
学校で三角関数というのを勉強しましたが
サイン、コサイン、タンジェントでおなじみだな！
それで？
1年生の時と違って、ラジアン？っていうのを使いますよね
なんだか違和感がすごくて・・・
30°のことを、$$\displaystyle\frac{\pi}{6}$$ラジアンって言ったり、60°のことを、$$\displaystyle\frac{\pi}{3}$$ラジアンって言ったり・・
まあはじめは違和感があると思うよ
でも慣れればなんてことはないさ
$$\pi$$ラジアンは180°と同じ。分からなくなれば代入すればいいんだ。
弧度法と度数法の変換
$$\pi$$ ラジアン ＝ 180°
それはわかっているんです
でも、なんだかもやもやするというか・・
当てはめたら計算はできるけど、ラジアンが何なのかよくわかっていないんだと思います
なるほど
ぽんさん、教えてください！
度数法と弧度法の違いは？
さっきからはるかが言っているラジアンというのは
弧度法という、角度の測り方における角度の単位だ
度数法と弧度法、この2つの違いを確認しておこう。
はい！
度数法は、小学生の頃から使ってきたよな
円の1周は360°だ。
逆に言えば、
円を360分割した扇形の中心の角を、1°とカウントする
360等分・・想像しにくいですが、そうなりますね。
弧度法は円の半径と扇形の弧の長さを使う。
たとえば、円の半径が1として
半径1、弧の長さが1の扇形の中心角
これを1ラジアンとカウントする。
あー・・
そういえば、そんな話を三角関数のはじめに少しだけ聞いた気がします。
度数法も弧度法も、両方とも角度の測り方の方法なんだ。
図にすると、こう。
度数法と弧度法
なるほどです！
ここまでをまとめると、こんな感じかな。
弧度法と度数法
度数法は、円を360等分してできる扇形の中心角の大きさを1°
弧度法は、半径と弧の長さが等しい扇形の中心角の大きさを1ラジアンとカウントする。
両方とも角度の測り方の1つ。用途によって使い分けている。
あと、
度数法と弧度法みたいに、複数の測り方があるものって角度以外にもあるぞ
本当ですか？
たとえば、長さだな。
長さの単位と言えば、メートルが基本だけど・・・
「インチ」って聞いたことないか？
そういえば、ありますね。
最近友達とジーンズを買いに行ったんですが
サイズの表記がインチ？だった気がします。
25インチとか、26インチとか、わかりにくいね～って話をしたような・・
まあ日本じゃ普通「メートル」だからね。
アメリカでは、インチやその上の単位であるフィートが使われている。
アメリカに行ったら分からなくて困りそうです・・・
そんなインチだけど、人の身体を基準に、長さの基準を決めた測り方なんだ。
たしか親指の長さを基準にしていたんだっけな
一方メートルは、赤道の長さを基準に定めて作ったのが始まりなんだな。
赤道・・メートルの方がややこしそう・・
ってのを踏まえると、人が履くジーンズの単位にインチが使われてるのって結構自然な気がしないか？
はい！
歴史的にも、インチの方が古くから使われているんだ。
ただ、科学が発展してくるにつれて、世界共通の長さの単位が必要になってくる。
親指の長さを基準にしたインチだと、人によっても長さが違うくらいだから世界の基準にするには厳しい。
それでできたのが、メートルなんだ。
だから、物理や化学では、アメリカ人であってもメートルを使う。
公式もメートルを使うこと前提にできているからね。
インチやフィートに慣れてるのに、赤道基準のメートルを使わないといけないのは大変そうですね。
度数法に慣れているのに、弧度法を使わないといけない、その気持ち悪さと同じような感じだと思うよ。
アメリカの人は大変ですね・・。
そうそう、2016年に「ポケモンGO」が世界的に大ヒットしたけど
アメリカ版でも、ゲームの中ではメートル法を使ってるんだ。
アメリカの人にとってはやりにくそうですね・・
でも、ポケモンGOを通してアメリカでもメートル法が一般に周知され始めてるってニュースがある。
ポケモンがアメリカの習慣を変えるのかもしれないな。
すごい・・・！
そんな感じで、弧度法を使ったスマホゲームをみんなが遊ぶようになったらいいんじゃないか？
そんなゲームはたぶん面白くないと思います・・・。
ラジアンって何の役に立つの？
ラジアン、弧度法が角度の測り方の1つだということは分かりました。
でも、弧度法を使うと何か役に立つことがあるんでしょうか？
さっきのメートル法の話なら、世界共通の長さの単位が必要だということはわかります。
でも、角度の測り方の話だと、度数法も世界共通です。
じゃあ、弧度法の存在意義って・・？
弧度法を使わない場合、度数法を使うことになるね。
はい。度数法の方がわかりやすいです
弧度法を使うメリットとして、2年生で学ぶ数学では、扇形の弧の長さや面積が求めやすくなることが挙がっているけど、それだけで使う気にはなれないよなあ
そうなんです
弧度法を使うメリット・・それは「微分」にある。
微分、ですか
数学Ⅱの最後の方でやりました！
数学Ⅱだと、$$x^n$$の微分しかやらないが、三角関数も微分はできる。
数学Ⅲの内容だけどね
弧度法を使ったsinとcosの微分は、こうなる。
三角関数の微分（弧度法ver）
$$(\sin x )’= \cos x $$
$$(\cos x )’= -\sin x $$
※$$x$$は弧度法
sinがcosに、cosがsinに変わるんですね
そうなんだよ。
一方、度数法のままで微分をすると、こうなる。
三角関数の微分（度数法ver）
$$\displaystyle(\sin x )’= \frac{\pi}{180}\cos x $$
$$\displaystyle(\cos x )’= -\frac{\pi}{180}\sin x $$
※$$x$$は度数法
$$\displaystyle\frac{\pi}{180}$$がさっきの式にくっついてくるんですね。
そうなんだよ。
度数法だと、微分するたびに$$\displaystyle\frac{\pi}{180}$$が出てくる。
2回微分すると$$\displaystyle{\left(\frac{\pi}{180}\right)}^2$$、3回微分すると$$\displaystyle{\left(\frac{\pi}{180}\right)}^3$$が係数に出てくる。
うわ・・それはちょっと計算が大変ですね
微分やその逆演算の積分の計算をする際には、弧度法を使ったほうが楽、というのが分かってもらえると思う。
はい！
でも・・
？
ラジアンが微分や積分の計算の役に立つというのは分かりましたが・・・
じゃあ、三角関数の微分積分は何の役に立っているんですか？
うーん
電気の計算や、周期性のある運動の計算に使っている、といってもピンとこないよな
先生もそんなことを話していた気がしますが、もっと身の回りの例が知りたいなって・・・
実は、ある
スマホでおなじみのWifi通信だ。
Wifiですか？
Wifiだ。Wifiじゃなくても、4G通信とかでも同じだぞ。
初耳です！
どのあたりで使っているんですか？
Wifi通信はネットの情報を電波に乗せてやり取りしている。
ただ、物理でもきいたことはあるかと思うけど、波はほかの波から影響を受けて変化する。
あー・・波の干渉という話ですね
電波も例外じゃないんだ
ネット通信を高速にするほど、この干渉が強くなって、正しい情報が受け取れなくなってしまう。
そうなんですか！
高速でネット通信しながら、正しい情報を受け取るためには、工夫がいるんだな。
そこで、三角関数の出番です！
おお！
三角関数を利用したフーリエ変換というものを使えば、高速でありながらうまく正しい情報を取り出すことができる。
そのフーリエ変換というのが、さきほどの弧度法を使った三角関数の微分積分を駆使しているんだ。
ラジアンのおかげで快適なネット通信ができる、ということですね！
すっきりしました！
ぽんさん、ありがとうございます！
役に立てて嬉しいよ
「フーリエ変換」の話は数Ⅲを勉強しているゆうにでもまた話をしてみようかな。
まだまだいろんなお話があるんですね・・！
はるかも、いつでも相談にきてくれよ！
はい、ありがとうございます！