- 無理数の代表的な例が円周率です。
- 大学入試では、「円周率を求めよ」という問題もいくつか出題されています。
- 円周率は、概算ならば中学生の知識でも求めることができます。
無理数と有理数の違いは言えるかな？
$$2$$や$$5$$のような自然数や、$$\displaystyle \frac{3}{4}$$などの分数が有理数だったよね！！無理数はそれ以外の数！
すごい！よく理解できているじゃん！
いま有理数の具体的な例を上げてくれたけど、無理数の例は上げられる？
無理数の具体的な例？？？
うーん…
あっ！
$$\sqrt{2}$$みたいな、ルートの数って無理数だったよねー！
よく覚えてるね！$$\sqrt{2},\sqrt{3}$$などは確かに無理数だ。
でも、もっと身近で皆がよく知ってる無理数もあるよ！
うーん…
円周率$$\pi$$って覚えてる？
ああ！円周率！
たしか、小数点以下がどこまでも続くんだよねー
$$3.141592653589793238\cdots$$
円周率$$\pi$$
そうそう。円周率は既約分数で表せない、無限に続く循環しない小数、つまり無理数であることが証明されている。
昔から、この円周率がどのような値になるのかを求めるために、多くの数学者が計算に人生を費やしているんだ。
円周率を求めるなんて、すごいね…
紀元前2000年頃。古代バビロニアの時代には、円周率として$$3$$や$$\displaystyle 3\frac{1}{7}=3.142857$$などの値が使われていたと言われている。
紀元前3世紀には、有名なアルキメデスという人が、円周率は、$$3.14084$$から$$3.14286$$の間の値であることを証明した。
2世紀には、張衡という人が、円周率として$$\sqrt{10}=3.162$$を利用するのがよいと言ったり、13世紀には、フィボナッチという数学者が、円周率は$$\displaystyle \frac{864}{275}=3.1418\ldots$$位だと計算している。
ふむふむ…
円周率で忘れてはいけないのは、オランダの数学者である「ルドルフ」だ！
彼は人生の多くの時間を円周率の計算に費やし、なんと円周率を19桁まで正確に計算することに成功した。当時としては素晴らしい偉業だった。彼の栄誉をたたえ、オランダでは円周率のことを「ルドルフ数」とも呼んでいるらしい。
へぇー！そのルドルフっていう人、すごいね！
それではここで問題です。
はい！
円周率を求めよ
えええー！！！
円周率を求めてみよう！
円周率を求めるなんて、そんな問題聞いたこと無いよ。。。
そんなことできるの？
できるよ！
できるから、円周率は$$3.14\ldots$$って分かってるんだよ。
今まで数多くの数学者が円周率の計算に取り組んできた。
そこからヒントを得れば、高校生の知識で十分に円周率を求めることができる！
そういえば、こんな大学入試の問題もあるんだよ。
円周率の入試問題1
円周率の入試問題2
ひょえぇーー
大学の入試問題で出題されるぐらいだから、高校で学ぶ数学の知識で、ある程度の円周率は求めることができる。
例えばこの図を見て欲しい。
円に内接する正六角形
これがどうしたの？
半径が1の赤色の円に、青色の正六角形が内接してるね。
この青色の正六角形の「外周の長さ」は分かるかな？
んーと。
この図をみると、正六角形は、6つの正三角形があわさって作られていることが分かります。
正三角形の一辺の長さは1なので$$1 \times 6=6$$です！
正解！
ところで、半径1の円の円周の長さっていくらだっけ？
えっと、円周の長さは、半径を$$r$$とすると$$2\pi r$$！
今は半径が1なので、$$r=1$$を代入して、$$2\pi$$だよね〜！
おお、順調だね！正解だ！
今、2つの長さがわかったね。
1つは、六角形の外周で、その長さは$$6$$。もう1つは円周で、その長さは$$2\pi$$だ。
？
馬鹿げたことを聞くかもしれないが、六角形の外周と、円周と、どちらが長いかな？
え！？
どう見たって円周だよね？
とすると、何が言えるかな？
え？何が言えるか…？
（円周の長さ）$$=2\pi$$
（六角形の外周の長さ）$$=6$$
円周の長さは、六角形の外周の長さより長い
ここから何が言えるか？
ああっ！
ひょっとして、$$2\pi>6$$ってこと！？
その通り！これを解くと…
$$\pi>3$$だ！円周率が3より大きいことが証明できた！
おめでとう！
東大の入試問題「円周率が3.05より大きいことを示せ」には、あと少しだけ足りないね…
あとたったの$$0.05$$だけ足りない…
今は正六角形を利用したが、正十二角形を利用して、数2で習う「三角関数」と組み合わせれば、同じ考え方で円周率が3.05より大きいことが証明できるんだ。
三角関数は2年生ぐらいで習うから、はるかが今頃学んでるんじゃないか？
へぇ〜
なんか、東大の入試問題でも頑張ったらできそう！
まあ、普通の入試問題はもっと難しいけどね。
そうだよねー
・・・
なに考えてるの？
ぽんさん、これだけだったら、$$\pi$$がどれ位大きいか、わからなくない？
ん？どういうこと？
今、あかりは$$\pi>3$$を証明したんだよね。でもこれだけだったら、$$\pi$$がどれぐらいなのか、わからないじゃん。
$$\pi=4$$かもしれないし、$$\pi=5$$かもしれないし…
なんか、「$$\pi<$$◯」みたいな不等式も欲しい気がするんだよ。[/linea] [linep]おお！おもしろいところに気がつくね！[/linep] [linep]じゃあ、外周を考えてみたらどうだろうか？[/linep] [fade width="40"]
円に外接する正六角形[/fade] [linep]せっかくだから、これは宿題にしよう！[/linep] [linea]えー！しゅくだいぃぃ…
できそうな、できないような…
外周が円周より大きいことを利用して、不等式を作ればいいんだよねー！
そうそう！上手くやれば、およそ$$\pi<3.46$$という不等式が導き出せる。[/linep] [linep]さっきの結果と合わせると、$$3<\pi<3.46$$という結論が導き出せるよ！[/linep] [linep]ルートが出てくるので、$$\sqrt{3}=1.73\cdots$$を思い出して、やってみてね！[/linep] [linea]ううう。頑張ってみる...[/linea] [lineend] [ad] [suggest id="126,1093,788"]