難しい二項定理の中に隠れた、大量の三角形を見てみよう！

二項定理は学校で習った？

い、一応…習いました…

一応というのは、どういうことだ（笑）

だって、二項定理すごく難しいんですよ！

確かに、初めて二項定理を習った時は意味不明だよね。皆そうだよ。

正直今でも理解できてる気がしません…
演習問題をする時も、頭のなかゴッチャゴチャです…

あ、でも、すごく面白いと思ったのもありましたよ！

ん？なになに？

「パスカルの三角形」でしたっけ？あれはとても面白かったです！
足していくだけで、二項係数、でしたっけ？の部分がどんどん出てくるところ、面白いですよね？

パスカルの三角形

「でしたっけ？」が多すぎだよ（笑）
パスカルの三角形も、二項係数もあってるよ。

よく、ぽんさんのような数学が得意な人は、「数学は美しい」なんて言いますよね。

あの意味、全然わからなかったんですけど、なんかちょっとだけ、言ってる人の気持ちがわかった気がします！

パスカルの三角形を見てると、左右対称で、キレイだなーって思います！

おぉー！ついに数学が美しいと思えるようになったか！

いや、まだそこまでは…
その人の気持ちがわからないことも無いかなぁ〜って思っただけですよ…！

じゃあ、せっかくなので、もっと美しい話をしよう。

なんですか！？

実はパスカルの三角形には、もっと面白い性質があります。この性質を見れば、さらに「数学は美しい」と思うかもしれません！

気になります！その性質！

じゃあ実際に調べてみよう！
はるか、色えんぴつ持って無い？色ペンでもいいよ。

えっ！ありますけど…どうするんですか？
数学の勉強に色鉛筆ですか？

そうだよー！じゃあパスカルの三角形に塗り絵をしよう。
まずは、偶数の数字に色を塗ってみよう。

俺も塗るから、一本ペンを貸してくれ

いや、いいですけど…
何が始まるんですか、これ？

まぁまぁ、塗ってみたらわかるから！

ううう、わかりました…

〜　3分後　〜

こんな感じでどうですか！

10行目まで偶数を塗りつぶしたパスカルの三角形

…

そんなにキレイじゃないような…気がします…

うーん。まだまだだな。もっと塗ろう！

わかりました。もうちょっと塗ってみます。

〜　さらに30分後　〜

・・・

・・・

・・・えっ！

これは…！確かにキレイですね！

50行目まで偶数を塗りつぶしたパスカルの三角形

おぉー案外きれいに塗れたねー！

見ての通り、パスカルの三角形の中に、大小様々な三角形が隠れているのが一目でわかる。

すごい…二項係数の中に、こんな姿が隠れていたんですね…

感動した？

はい！すごくびっくりです！

ちなみに、いま偶数を塗ってみたけど、3の倍数を塗ってみたらどうなると思う？

…え、また塗るんですか…
これ結構時間かかりますよ…

そういうと思って、さっきはるかが必死に塗ってる時間に、俺が塗っときましたー！

じゃーん！

3の倍数を塗りつぶしたパスカルの三角形

おお！3の倍数の方もキレイですね！

そう言われると、塗ったかいがあったよ。

このような、大きさは違うけども、形が同じ図形（相似な図形）が入り組んでいるような図形を、「フラクタル図形」と言ったりします。

ふらくたる？ですか？

うん。そうそう。
googleの画像検索などで、「フラクタル図形」と調べてみると、これと似たような美しい図形がたくさん見られるよ！

フラクタル図形 – Google 画像検索

あまりよくわからないですけど、なんだか凄そうですね…

こんな美術作品みたいなのも、数学なんですか？

もちろんそうだ。
今、がんばって偶数や3の倍数に色を塗ったみたいに、座標の上で、何かの条件を満たしたらこの色、別の条件なら違う色、と言う感じで色を塗っていくと、座標上にきれいな芸術作品が出来上がることがある。

面白そうですね！

でも、学校で習ったパスカルの三角形に、このような美しい姿が隠れてたとは、ホントにびっくりしました！