高校で教えてくれない！0を0回掛けるとどうなるでしょう？

数学の授業で、1や5などの自然数を0乗すると、1になる。ということを学びました。$$1^0=1$$、$$5^0=1$$です！なんか不思議な気もしますが…

確かに、初めに習うときは少し困惑するかもしれないね。

学校の先生には、難しく考えずに覚えろって言われました…

で、思ったんですけど、自然数以外の数ではどうなるのでしょうか？

自然数以外というのは、例えば？

「何とかの0乗」の何とかの部分が自然数じゃない時です。

例えば…$$(-1)^0$$とか、あとは$$0^0$$とか！

$$-1$$や$$0$$は自然数じゃないですよね？

おお！なかなかおもしろいことに気づくね！

実は驚くべきことに、数学の世界では、$$0^0$$という数は1つに決まらないんだよ。「$$0^0=0$$だ！」と言い張る数学者もいれば、「いやいや、$$0^0=1$$のほうがいいんじゃない？」という数学者もいる？

えっ！！

数学って、そんなテキトーな感じでいいんでしょうか？もっと答えがこう…バシッと決まらないと、ダメじゃないんですかね…？

やっぱりそう思う？

実は、高校数学では「答えがバシッと決まる」数学だけを扱ってるんだ。

でも、本当の数学の世界では、「答えがバシッと決まらない」問題もある。答えが存在しなかったり、証明ができなかったり…

へぇ…なんだかすごそうですね…

話を元に戻そう！

$$0^0$$はどうして定義できないのか？

「$$0^0=1$$だ」と言っている数学者の主張は、簡単にいえばこうだ。

「なんとかの0乗」という数。つまり、そのなんとかを$$n$$で表すと、$$n^0$$はいくらになるか、というのを考えてみる。

どういうことですか？

例えば$$n=3$$のとき、$$n^0$$はいくらかな？

$$3^0=1$$ですよね…？

その通り。では、$$n=2$$のとき、$$n^0$$は

$$2^0=1$$です。学校で覚えろと言われた問題そのままです。

そうだったね。同じようにして、$$1^0$$も$$1$$になる。$$n=1,2,3,\cdots$$の時に$$n^0=1$$なんだから、$$n=0$$のときも、$$n^0=0^0=1$$になるだろ！という考え方が、$$0^0=1$$派の主張だ。

nの0乗はすべて1？

うーん…

そう言われると、確かにそんな気もしますが… でも、$$0^0=0$$と主張する人もいるんですよね？

そうだね。では、その人の主張も見ていこう！

さっきは「なんとかの0乗（$$n^0$$）」を考えた。
次は、「0のなんとか乗（$$0^n$$）」を考えてみる。

はい。

$$0^3$$は分かるかな？

0を3回かけるだけなので、$$0^3=0\times0\times0=0$$です。

では、$$0^2$$は？

$$0^2=0\times0=0$$です。

あ！言いたいことが分かりました！

$$0^1=0$$です。だから、$$0^0$$も、$$0$$っぽいよね？ってことですよね！？

その通り！よくわかったね！

さっきの考え方と同じように、$$n=1,2,3,\cdots$$の時に$$0^n=0$$なんだから、$$n=0$$のときも、$$0^n=0^0=0$$になるだろ！というのが、$$0^0=0$$派の主張だ。

0のn乗はすべて0？

うーん。どちらの主張もあってそうな気はするんですが…

まさにその通りで、どちらの主張も数学的には一理あるんだ。
だから数学的には$$0^0$$は$$1$$にもなるし$$0$$にもなる。

なんだか数学の意外な側面を見た気がします…！