かわいい子には彼氏がいる？対偶を使って証明を簡単に！

ぽんさん。ちょっと質問！

どうしたの？

えっとね、数学の授業で「対偶」って習うじゃん。

うん。確か、数Aで習うのかな？

そうそう。それでね、休み時間に友達と、「かわいい子には彼氏いるよね」っていう話をしてたんだけど、そしたらその友達が、対偶は「彼氏いない子はかわいくない」だね、って言い出したんだよ。

でも、彼氏いない子でもかわいい子はいるし…っていう話をしてたら、もう訳わかんなくなっちゃって！

なるほど…（笑）

まず「対偶」という考え方は「数学の授業」で習うよね。社会や道徳の時間では習わない。だから「対偶」という考え方は「数学の世界」で使われる考え方だ。

あかりも知ってると思うけど、数学の世界はとても厳密だ。それに比べて、私たちが暮らしている「日常の世界」はあいまいなんだ。

だから、厳密な数学の世界で使われる「対偶」という考え方を、あいまいな日常の世界で使うと、少し変に感じたりする。

うーん…なんかよくわからない。

対偶ってなんだったか、分かる？

えっと、「$$p$$ならば$$q$$」の対偶が、「$$q$$でないならば$$p$$でない」だよね。

$$p$$とか$$q$$ってなに？

え？えっと…なんだっけ？

教科書の言葉を使うと、$$p$$や$$q$$は「条件」だったね。条件というのは、なにか文字$$x$$を含んでいて、その$$x$$に具体的な値を入れると、真偽が定まる文のことだった。例えば、『$$x>1$$』とか、『$$x$$は偶数』とか。

あ！そんな感じだったね！

簡単のために、『$$p$$でない』を　$$\overline{p}$$　と、『$$p$$ならば$$q$$』を　$$p \Longrightarrow q$$　と書こう。

$$p,q$$を$$x$$の条件とすると、
$$p \Longrightarrow q$$　の対偶は、　$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$

大切だったのが　$$p \Longrightarrow q$$　と　$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$　の真偽が一致することだった。

具体例、なにか言える？

「$$x$$が偶数$$\Longrightarrow x^2$$は偶数」というのが正しいから、「$$x^2$$が奇数$$\Longrightarrow x$$は奇数」も正しいってことだよね。教科書に乗ってた例だけど…

そうそう！わかってるじゃん！

対偶の性質

$$p,q$$を$$x$$の条件とする。
$$p \Longrightarrow q$$　が正しい（真である）ならば
$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$　も正しい（真である）

では、あかりの主張を整理しよう。「かわいい子には彼氏がいる」を、条件を使って書くとどうなるかな？

「ある人がかわいいならば、その人には彼氏がいる」と考えると分かりやすいかもしれないね。

えっと、$$p$$を「$$x$$はかわいい」、$$q$$を「$$x$$には彼氏がいる」、とすれば、$$p \Longrightarrow q$$だよね。

完璧だよ！
で、なにがよくわからないんだっけ？

えっとね、みんな「かわいい子には彼氏いるよ！」っていうじゃん。これは正しそうなのに、でも「彼氏がいない子はかわいくない」って言うのは、間違ってるんじゃないかなーって思うんだ。

元の文はあってるのに、その対偶の文は間違ってるって、やっぱりよくわからないよ…

あかりの主張

$$p$$を「$$x$$はかわいい」、$$q$$を「$$x$$には彼氏がいる」とする。
$$p \Longrightarrow q$$は正しそう。
$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$は間違っている。
元の文は正しそうなのに、その対偶が間違ってるのはおかしい！

***日常言語バージョン***

『かわいい人には彼氏がいる』は正しそう。
『彼氏がいないならかわいくない』は間違っている。
元の文は正しそうなのに、その対偶が間違ってるのはおかしい！

そこが、数学の世界の「対偶」を、無理に日常生活で使ってしまったから生じる問題だよ。

今あかりは、『かわいい子には彼氏がいる』っていう文に対して、「正しそう」って言ったよね。正しそうじゃなくて「絶対に100%正しい！」って言える？

えっ…でも、みんな言ってるよ？

しかも、周りのかわいい子たち、みんな彼氏いるし…

残念ながら、数学では「みんなが言ってるから」という理由で正しいことにはならないよ。もし世界中の人が一斉に、1+1は3だ！といっても、やっぱりそれは間違ってるし、1+1は2だ。

あと、もし、あかりが知ってるかわいい子全員に彼氏がいたとしても、あかりの知らない世界中の女の子に、この主張が成り立つかどうかもわからない。

この『かわいい子には彼氏がいる』という文は、もし一人でも、かわいいけど彼氏がいない人がいたら、間違い、つまり「偽」になってしまう。

おそらくそういう人はいるだろうから、その対偶「彼氏がいないならかわいくない」というのも誤りだ。

数学的な主張

$$p$$を「$$x$$はかわいい」、$$q$$を「$$x$$には彼氏がいる」とする。
$$p \Longrightarrow q$$は間違っている。
よって、その対偶$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$は間違っている。

***日常言語バージョン***

『かわいい ならば 彼氏がいる』は間違ってる。
よって、その対偶『彼氏がいない ならば かわいくない』は間違っている。

あっ、そうか。日常では正しいと思ってることでも、しっかり厳密に考えてみると、間違ってる場合があるってこと？

そう、その通り！「対偶」は数学の証明のように、厳密な議論で使うルールだ。中途半端な知識で日常生活に使ってしまうと、間違った考えにたどり着いてしまうこともあるので、注意しないといけないよ。

はーい。

せっかくなので、対偶の話をもうちょっとだけしよう。

高校の数学で「対偶」を勉強する一番の理由は、証明に使えるからだ。

対偶を使った証明法っていうの、授業でやった気がする！

じゃあまず、超簡単な問題を使って　$$p \Longrightarrow q$$　の証明法を確認してみよう。

例えば、こんな問題できるかな？

問題：$$x=3 \Longrightarrow x^2=9$$であることを証明せよ。

えっ、こんなの当たり前じゃないの？

うーん。当たり前といえばそうかもしれないけど、きちんと手順を踏んでみよう。

$$p \Longrightarrow q$$　を証明する１つの方法は、$$p$$が正しいことを仮定して、$$q$$となることを示せばいい。

これを「証明法（１）」と呼ぼう。

$$p \Longrightarrow q$$　の証明法（１）

問題：$$p \Longrightarrow q$$　であることを証明せよ。

【証明】
$$p$$を仮定する。
$$\vdots$$
$$q$$である。
よって、　$$p \Longrightarrow q$$　である。(証明終)

なるほど。この証明に当てはめればいいんだね！

問題：$$x=3 \Longrightarrow x^2=9$$であることを証明せよ。

【証明】
$$x=3$$を仮定する。
両辺を2乗すると、$$x^2=9$$である。
よって、$$x=3 \Longrightarrow x^2=9$$である(証明終)

そう。いい感じ！

でも、この　$$p \Longrightarrow q$$　は違う方法でも証明できる。それが対偶だ。

これを「証明法（２）」と呼ぶことにする。

$$p \Longrightarrow q$$　の証明法（２）

問題：$$p \Longrightarrow q$$　であることを証明せよ。

【証明】
初めに　$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$　を示そうと思う。
$$\overline{q}$$　を仮定する。
$$\vdots$$
$$\overline{p}$$　である。
よって、　$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$　が示される。
対偶の性質より、　$$p \Longrightarrow q$$　である。(証明終)

なるほど！まずは　$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$　が正しいということを証明すれば、対偶の性質から、　$$p \Longrightarrow q$$　が正しいことが分かるんだ！

そう、その通りだよ！

数学で　$$p \Longrightarrow q$$　であることを証明しなさい。という問題が出た時に、正攻法で証明しようとしても、なかなか難しい時がある。

そんな時でも　$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$　を示せれば、　$$p \Longrightarrow q$$　を示したのと同じことになる。

$$p \Longrightarrow q$$　でも、　$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$　でも、どっちでも簡単な方を証明しちゃえばいいってことだね！

そうそう、対偶を使えば、証明の書き方の選択肢が広がるってことだね。

これを使えば、難しい証明問題も簡単になるかもしれない。証明問題が嫌いな人は、覚えておくといいよ！

はーい。

そういえば、対偶を使うとちょっとおもしろいことが起こる。それが「ヘンペルのカラス」というお話だ。

カラス？

うん。カラスに関連したお話で、ドイツの哲学者であるカール・ヘンペルが提唱した議論だ。

ところで、カラスって何色？

えっ、黒でしょ？

本当に？

…また変なことたくらんでるでしょ？

変なことじゃないよ（笑）
では、あかりは「地球上に存在する全てのカラスは黒い」ということを、どうやって証明しますか？

ほら〜！知らないよそんなの！（笑）

でも、これをきちんと証明しないと、「カラスは黒色である」ということが言えないよ。

そんなの、全てのカラス捕まえて、全部調べないと無理だよ！

うん。それも１つの証明方法だ。

え？１つの方法？

他にも「地球上の全てのカラスは黒い」ということを証明する方法があるの？

あるよ！

しかも、その方法ではカラスを１匹も調べる必要がない。

いやいや、何言ってるのぽんさん。さすがにそれは無理だよ。

カラスを１匹も調べないで「カラスは黒い！」なんて言えるわけないよ！

そう思う？では、やってみよう。

今、示したいことは、$$p$$：「$$x$$はカラス」、$$q$$：「$$x$$は黒い」だよね。

$$p$$：「$$x$$はカラス」、$$q$$：「$$x$$は黒い」とする。
問題：$$p \Longrightarrow q$$を証明せよ。

うん。ここまでは分かるよ。

あかりが言った、全部のカラスを捕まえて黒いことを調べる方法は、さっき話した「証明法（１）」だ。

以下の証明は、カラス研究者が頑張って、世界中のカラスの色をすべて調べて、全て黒色だったことを前提として読んで欲しい。

$$p$$:「$$x$$はカラス」、$$q$$:「$$x$$は黒い」とする。
$$p \Longrightarrow q$$を証明せよ。

【証明法（１）を使った証明】
$$p$$を仮定する。
仮定より、$$x$$はカラスだから、
カラス研究者の努力によって、$$x$$は黒い事がわかる。
よって、$$q$$である。
つまり、　$$p \Longrightarrow q$$　である。(証明終)

なんか、当たり前すぎてよくわからない。

それに対して、対偶を用いた「証明法（２）」でも、証明することができる。

以下の証明は、暇な人が「世界中の黒くないものを集めたら、その中にカラスはいなかった」ということが分かってることを前提として読んで欲しい。

$$p$$:「$$x$$はカラス」、$$q$$:「$$x$$は黒い」とする。
$$p \Longrightarrow q$$を証明せよ。

【証明法（２）を使った証明】
初めに　$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$　を示そうと思う。
$$\overline{q}$$を仮定する。
仮定より、$$x$$は黒くない。
暇な人の努力によって、$$x$$はカラスではないことがわかる。
よって、$$\overline{p}$$である。
つまり、　$$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$$　がわかる。
対偶の性質より、　$$p \Longrightarrow q$$　である。(証明終)

この証明の凄いところは、カラスを調べてないんだよ。カラスの代わりに、世界中の黒くないものを調べている。

世界中の黒くないものを調べれば、カラスが黒い事がわかる。

カラスが黒いことを示す方法

まって…なんかやっぱりよくわからないよ。

うーん。

例えば、あるクラスのAさんが、眼鏡をかけているかどうかを調べたいとしよう。

あかり、どうする？

え、Aさん呼んでくればいいんじゃないの？

うん。それが証明法（１）であり、カラスで言うと、世界中のカラスを調べる方法だ。

証明法（２）ではどうするかというと…

あ！そうか！

「メガネかけてない人集合！」ってすればいいんだ！

そう！その通り！

Aさんがいるクラスで、眼鏡をかけていない人を全員集める。そしてその中にAさんがいなければ、Aさんは眼鏡をかけていることが分かる。

Aさんが眼鏡をかけていることを示す方法

Aさんを直接見てないのに、Aさんが眼鏡をかけてることが分かるんだ！なんか凄い！

さっきのカラスの例も同じで、「世界中の黒くないもの集合！」といって、集合させてみる。

多分そんなの出来ないけどね（笑）

まあ、仮の話だからね。暇な人が頑張ったんだよ。

そして、その集合の中にカラスがいなければ、カラスを調べなくてもカラスは黒い！ということが分かるんだ！

「$$x$$はカラス $$\Longrightarrow$$ $$x$$は黒い」　の対偶は、
「$$x$$は黒くない $$\Longrightarrow$$ $$x$$はカラスではない」

「$$x$$はAさん $$\Longrightarrow$$ $$x$$は眼鏡をかけている」　の対偶は、
「$$x$$は眼鏡をかけていない $$\Longrightarrow$$ $$x$$はAさんではない」

まとめると、こんな感じかな？

あるものを見なくても、あるものの性質が分かる…
なんか、対偶って凄いね…！